蒙城一中2014届高三上学期第二次月考

数学（理）试题

满分：150分 考试时间:120分钟

第
Ⅰ卷(选择题　共50分)

一、选择题 (本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．集合
，
，若
，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )

A．既不充分也不必要的条件 B．充要条件

C．必要而不充分的条件
D． 充分而不必要的条件

3．设直线x=k 与函数

的图像分别交于点M,N,则当
达到最小时k的值为( )

A．1 B．
C．
D．

4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A． (0,1] B．(－1,0)∪(0,1]

C．(0,1) D． (－1,0)∪(0,1)

5．函数
在（
1，
1）处的切线方程是( )

A．
B．
C．
D．

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以
2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log
6
)的值为(　 　)

A．－ B．－5 C．－ D．－6

7．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为(　 　)

A．3 B．2 C．0 D．1

8．若函
数
在
上既是奇函数，也是减函数，则
的图像是( )

9．已知函数
,下列结论中错误的是 （　　）

A．
R,

B．函数
的图像是中心对称图形

C．若
是
的极小值点,则
在区间
上单调递减

D．若
是
的极值点,则

10.已知
为定义在
上的可导函数,且
对于
恒成立,则( )

A．
,
[来源:学+科+网]

B．
,

C．
,

D．
,

第Ⅱ卷(非选择题　共100分)

二、填空题 (本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)[来源:学|科|网Z|X|X|K]

11．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪ B={1，2}，则集合B有　_________　个．

12.
_________________________。

13. 已知函数y＝的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是 _______．

14.已知函数
。

15．如果对于任意一个三角形，只要它的三边长
都在函数
的定
义域内，则
也是某个三角形的三边长，则称函数
为“保三角形函数”.现有下列五个函数： ①
；②
；③
；④
；⑤
.

则其中是 “保三角形函数”的有 .（写出所有正确的序号）

三、解答题 (本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.已知p：｜x－4｜≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若
p是
q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

17. 　已知函数f(x)＝

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

18．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3·4x的最值及相应的x的值．

19．(1)已知函数y＝f(x)的定
义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y
＝f(x)的图象关于直线

x ＝m对称；

(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．

[来源:Z*xx*k.Com]

[来源:学_科_网]

20.已知函数f(x)＝－2x2＋ln x，其中a为常数．

(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间[1
,2]上为单调函数，求a的取值范围．

21．设函数
(
为自然对数的底数)，

（
）．

(Ⅰ）证明：

；

(Ⅱ）当
时，比较
与
的大小，并说明理由；

(Ⅲ）证明：
（
）．

答案

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝
h(x)，

由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，

因此必有解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

18.解：y＝lg (3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2>0，

解得x<1或x>3.∴M＝{x|x<1，或x>3}．

f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.

令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或0

∴y＝4t－3t2＝－32＋(t>8或0

由二次函数性
质可知：

当0

当t>8时，f(t)∈(－∞，－160)，

∴当2x＝t＝，即x＝log2时，f(x)max＝.

综上可知，当x＝log2时，f(x)取到最大值为，无最小值．

19.解：(1)设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，

则y0＝f(x0)．

又P点关于x＝m的对称点为P′，

则P′的坐标为(2m－x0，y0)．

由已知f(x＋m)＝f(m－x)，

得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]

＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.

即P′(2
m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．

∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．

(2)对定义域内的任意x，

有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．

∴|a(2－x)－1|＝|a(
2＋x)－1|恒成立，

即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．

又∵a≠0，∴2a－1＝0，得a＝.

20.解：(1)若a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋ln x，

定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－4x＋3＝＝(x>0)．

当f′(x)>0，x∈(0,1)时，函数f(x)＝3x－2x2＋ln x单调递增．

当f′(x)<0，x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝3x－2x2＋ln x单调递减．

故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，

单调递减区间为(1，＋∞)．

(2)f′(x)＝－4x＋，

若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0，

即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1,2]上恒成立．

即≥4x－或≤4x－.

令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，

所以≥h(2)或≤h(1)，[来源:学*科*网Z*X*X*K]

即≥或≤3，

解得a<0或0

[来源:Z。xx。k.Com]

21.（Ⅰ）设
，所以
．

当
时，
，当
时，
，当
时，
．

即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

在
处取得唯一极小值，

因为
，所以对任意实数
均有
．

即
，所以

．

(Ⅱ）当
时，


．

用数学归纳法证明如下：

①当
时，由（1）知

；

②假设当
（
）时，
对任意
均有

，[来源:学科网ZXXK]

令
，
，

因为对任意的正实数
，
，

由归纳假设知，
，

即
在
上为增函数，亦即
，

因为
，所以
．

从而对任意
，有
,即对任意
，
有
，

这就是说，当
时，对任意
，也有

．

由①,②知，当
时，都有

．

(Ⅲ）证明1：先证对任意正整数
，
．

由（Ⅱ）知，当
时，对任意正整数
，都有

．

令
，得
．所以
．

再证对任意正整数
，

．

要证明上式，只需证明对任意正整数
，不等式
成立．

即要证明对任意正整数
，不
等式
（*）成立．

方法1（数学归纳法）：