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　　玉溪一中2014届高三上学期期中考试数学试题（理科）.doc

　　玉溪一中2014届高三上学期期中考试数学试题（理科）参考答案 (2).doc

玉溪一中2014届高三上学期期中考试数学试题（理科）

班级 姓名

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是

A. 1 B. 3 C. 4 D. 8

2.若复数
（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为

A. －2 B. 6 C. 4 D. －6

3.下列命题中是假命题的是

A.
x∈(0，
)，x＞sinx B.
x0∈R，sinx0＋cosx0＝2

C.
x∈R，3x＞0 D.
x0∈R，lgx0＝0

4.函数f(x)＝
－cosx在[0，＋∞)内

A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点

5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为
，则S5＝

A. 35 B. 33 C. 31 D. 29

6.如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在

区域M内的概率是

A.
B.
C.
D.

7.函数y＝sin(ωx＋φ)（ω＞0且|φ|＜
）在区间[
，
]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为

A.
B.
C.
D.

8.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为

A. 1 B.
C.
D.

9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的

表面积为

A. 8π B. 6π C. 4π D. 2π

10.已知椭圆C1：
＋
＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2－
＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则

A. a2＝
B. a2＝13 C. b2＝
D. b2＝2

11.已知函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形.

其中，正确的判断是

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

12.函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②f(
)＝
f(x)；③f(1－x)＝1－f(x).则f(
)＋f(
)＝

A.
B.
C. 1 D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式(x3－
)5的展开式中的常数项为 .

14.若以双曲线
－y2＝1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是 .

15.定义在实数上的函数f(x)＝
的最小值是 .

16.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[
，＋∞)，f(
)－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
＝
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若cosB＝
，b＝2，求△ABC的面积S.

18.（本小题满分12分）

某地区举行一次数学新课程骨干教师研讨会，共邀请15名使用人教A版或人教B版的教师，数据如下表所示：

版本

人教A版

人教B版



性别

男教师

女教师

男教师

女教师



人数

6

3

4

2



（Ⅰ）从这15名教师中随机选出2名教师，则这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？

（Ⅱ）研讨会中随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2

的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的正弦值；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

20.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.

（Ⅰ）求函数f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；

（Ⅱ）若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值.

21.（本小题满分12分）

设a≥0，函数f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]ex，g(x)＝2－a－x－
.

（Ⅰ）当a≥1时，求f(x)的最小值；

（Ⅱ）假设存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得|f(x1)－g(x2)|＜1成立，求a的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的方程是p＝4，直线l的方程是psin(θ＋
)＝3，求圆C上的点到直线l的距离的最大值.

23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数f(x)＝|x－2a|，a∈R.

（Ⅰ）若不等式f(x)＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；

（Ⅱ）若存在x0∈R，使f(x0)＋x0＜3，求a的取值范围.