绵阳市高2011级第一次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

CBDDB AACAD

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．9 12．
13．5

14．
15．m<0或m>2

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（I）

，……………………………………………6分

∴
，即f(x)的最小正周期为π． …………………………………7分

（II）由
≤
≤
，可得
≤≤
，k∈Z，

由
≤
≤
，可得
≤≤
，k∈Z，

即函数f(x)的单调递减区间为
，k∈Z，

单调递增区间为
，k∈Z，

∴ f?(x)在[
]上是减函数，在[
]上是增函数． ………………12分

17．解：（I）设{an}的公差为d，则由题知

解得a1=2，d=4． ……………………………………4分

∴an=2+4(n-1) =4n-2．…………………………………………………………6分

（II）设{bn}的公比为q，

若q=1，则S1=b1，S2=2b1，S3=3b1，

由已知
，代入得8b1=4b1，而b1≠0，故q=1不合题意．

…………………………………………………………7分

若q≠1，则S1=b1，
，
，

于是

整理得：4q2=3q+q3，解得q=0（舍去），q=1（舍去），q=3， ………10分

∴
． ………………………………………………………12分

18．解：（I）∵
，

∴ 由题意知
，即1-a=2，解得a=-1．

于是f(1)=-1-2=-3，

∴-3=2×1+b，解得b=-5． …………………………………………………6分

（II）由题知
≥0对任意x>0恒成立，即a≥
，

令
，

∴
． ………………………………………………8分

显然当0

当x≥e时，
≤0，即得g(x)在
上是减函数．

∴
．

∴ a≥e，即a的最小值为e．………………………………………………12分

19．解：（I）由已知A=2，

且有
，即
，

由||<
得
．

又∵ 最高点为(1，2)，

∴
解得
．

∴
．…………………………………………………………6分

（II）∵ B点的横坐标为3，代入函数解析式得
=1，

∴
．…………………………………………………8分

在△BCD中，设∠CBD=θ，则∠BDC=180o-120o-θ=60o-θ．

由正弦定理有
，

∴
，
， …………………………………9分

∴

．

∴ 当且仅当
时，折线段BCD最长，最长为
千米．……………12分

20．解：（I）由于f(1+x)=f(2-x)知函数f(x)关于
对称，

即
，解得b=-3，于是 f(x)=x2-3x+2．………………………………3分

当x≤-1，或x≥1时，由f(x)≥g(x)有x2-3x+2≥x2-1，解得x≤1，

∴ 此时x的范围为x≤-1，或x=1．

当-1

∴ 此时x的范围为-1

∴ 综上知，使不等式f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|x≤
或x=1}．

………………………………………………………………7分

（II）

若b=0时，
显然h(x)>0恒成立，不满足条件．

…………………………………………………………………9分

若b≠0时，函数 (x)=bx+5在(0，1)上是单调函数，

即 (x)在(0，1)上至多一个零点，不妨设0

①如果0

解得
≤
．

经检验
时，
的零点为
， 2（舍去），∴
<
．

②若1≤x1

即
得：-5≤
．

∴ 综上所述b的取值范围为
． ……………………………12分

21．解：（I）∵
，

∴ 当x∈[-2，0]时，
，即f?(x)在[-2，0]上是增函数，

∴
． …………………………………………………………4分

（II）∵ 函数f(x)恰有两个不同的极值点x1，x2，

∴ 方程ex-2x-a=0有两个不同的零点x1，x2．

令h(x)=ex-2x-a．

①
，

当
时，
，h(x)是减函数；

当
时，
(x) >0，h(x)是增函数，

∴
在x=ln2时取得最小值．

∴ x1

②∵ h(x1)=0，即
，

∴
．

于是
，

∴
．

∵ x1

∴
．

∴ 当x1<0时，
，f(x1)是减函数；

当0≤x1

∴ f?(x1)在(-∞，ln2)上的最小值为f(0)= 1，此时a=1．…………………14分