北京101中学2014届高三年级第三次月考

数 学 试 卷（文）

　　　　　　　命题人：西林涛、张德萍

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
等于

A．i B．
C．1 D．—1

2．设全集U＝R，集合A＝｛x｜

｝，B＝｛x｜1＜
＜8｝，则（CUA）∩B等于

A．[－1，3） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）

3．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题
是“甲降落在指定范围”,
是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A．
B．
C．
D．

4．设{
}是公比为正数的等比数列，若a3＝4，a5＝16，则数列{
}的前5项和为

A．41 B．15 C．32 D．31

5．已知向量
,若
,则

A．
B．
C．
D．

6．函数
的图象大致是

7．已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

8．曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
的值为

A．2 B.-2 C.
D.

9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为
的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为

A．

B．

C．

D．

A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称

C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称

11.
的外接圆的圆心为
，半径为
，
且
，则向量

在
方向上的投影为

A.
B.
C.
D.

12．设函数
，则在下列区间中函数
不存在零点的是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知数列{an}满足a1=33, an+1-an=2n，则an= .

14．在
中，BC=
，AC=2，
的面积为4，则AB的长为 。

15．已知函数
的导函数，则
.

16．已知
是两个互相垂直的单位向量，且
，则对任意的正实数t，
的最小值是 。

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本题满分12分）

设
是公比大于1的等比数列，
为数列
的前
项和．已知
，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．

（1）求数列
的通项公式．

（2）令
，求数列
的前
项和
。

18．（本题满分12分）

海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处。（假设游船匀速行驶）

（1）求CD的长；

（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西

方向E处，问此时游船距离海岛B多远。

19．（本题满分12分）

已知数列{
}的前n项和为
，满足
．

(1)求数列{
}的通项公式
；

(2)若数列{
}满足
，求数列{
}的前n项和
．

20．（本题满分12分）

函数

,
.其图象的最高点与相邻对称中心的距离为
,且过点
.

(1)求函数
的表达式;

(2)在△
中，
、
、
分别是角
、
、
的对边,
,
,角C为锐角，且满足
,求
的值.

21．（本题满分12分）

已知函数
在
处取得极值.

(1)求
的值;

(2)求函数
在
上的最小值;

(3)求证:对任意
,都有
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在△
中，
是
的中点，
是
的中点，

的延长线交
于
.

（1）求
的值；

（2）若△
的面积为
，四边形
的面积为
，求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

已知曲线
为参数），
为参数）。

（1）化
的方程为普通方程;

（2）若
上的点
对应的参数为
，
为
上的动点，求
中点
到直线
为参数）距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（1）解不等式
;

（2）若关于
的不等式
的解集不是空集，试求实数
的取值范围.

北京101中学2014届高三第三次月考数学(文科)试卷参考答案

一、选择题：

1D2B3A4D5B6A7C8A9A10D11A12A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．
14．4或
15．1 16．

三、解答题：

17. 解：（1）由已知得
解得
．设数列
的公比为
，由
，可得
．又
，可知
，即
，解得
．由题意得
．
．故数列
的通项为
．

（2）由于
由（1）得
所以

又

是等差数列．

=
．

18、

（6分）

（6分）

19、

20、(Ⅰ)
. ∵最高点与相邻对称中心的距离为
,则
,即
, ∴
,∵
,∴
,又
过点
,∴
,即

,∴
.∵
,∴
,∴
. (6分)

(Ⅱ)
,由正弦定理可得
, ∵
,∴
,

又
,
,∴
,由余弦定理得

,∴
. (6分)

21、 (Ⅰ)

由已知得
即
解得:

当
时,在
处函数
取得极小值,所以
(4分)

(Ⅱ)
,
.











-

0

+






减



增



所以函数
在
递减,在
递增

当
时,
在
单调递增,

当
时,

在
单调递减,在
单调递增,
.

当
时,
,
在
单调递减,

综上
在
上的最小值
(4分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知
,
.

令
得
因为

所以
，所以,对任意
,都有

(4分)