北京101中学2014届高三年级第三次月考

数 学 试 卷（理）

　　　　　　　 命题人：西林涛、张德萍

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
等于

A．i B．
C．1 D．—1

2．设全集U＝R，集合A＝｛x｜

｝，B＝｛x｜1＜
＜8｝，则（CUA）∩B等于

A．[－1，3） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）

3．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题
是“甲降落在指定范围”,
是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A．
B．
C．
D．

4．设{
}是公比为正数的等比数列，若a3＝4，a5＝16，则数列{
}的前5项和为

A．41 B．15 C．32 D．31

5. 函数
的图象大致是

6．曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
的值为

A．2 B.-2 C.
D.

7．如图，AB是半圆O的直径，C，D是孤AB的三等分点，M、N

是线段AB的三等分点，若OA=6，则
的值是

A．2 B．5 C．26 D．29

8．已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则
等于

A.
B.
C.
D.

9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为
的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为

A．

B．

C．

D．

10．函数
部分图象

如图所示,若
,则
等于

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
是R上的偶函数，且在区间
上是增函数.令

，则

A．
B.
C.
D.

12．定义域为[
]的函数
图像的两个端点为A、B，M(x，y)是
图象上任意一点，其中
．已知向量
，若不等式
恒成立，则称函数f (x)在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数
在

[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知函数
是
的导函数，则
= 。

14．在
中，BC=
，AC=2，
的面积为4，则AB的长为 。

15．已知数列
的最小值为 。

16．已知
是两个互相垂直的单位向量，且
，则对任意的正实数t，
的最小值是 。

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本题满分12分）

已知数列{
}的前n项和为
，满足
．

(1)求数列{
}的通项公式
；

(2)若数列{
}满足
，求数列{
}的前n项和
．

18．（本题满分12分）

海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处。（假设游船匀速行驶）

（1）求CD的长

（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西

方向E处，问此时游船距离海岛B多远。

19．（本题满分12分）

已知函数
，其中
.

（1）若曲线
在点
处的切线方程为
,求函数
的解析式；

（2）若对于任意的
,不等式
在
上恒成立,求
的取值范围.

20．（本题满分12分）

函数

,
.其图象的最高点与相邻对称中心的距离为
,且过点
.

(1)求函数
的表达式;

(2)在△
中，
、
、
分别是角
、
、
的对边,
,
,角C为锐角.且满足
,求
的值.

21．（本题满分12分）

已知函数

(1)若
是定义域上的单调函数,求
的取值范围;

(2)若
在定义域上有两个极值点

、
,证明:

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在△
中，
是
的中点，
是
的中点，

的延长线交
于
.

（1）求
的值；

（2）若△
的面积为
，四边形
的面积为
，求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

已知曲线
为参数），
为参数）。

（1）化
的方程为普通方程;

（2）若
上的点
对应的参数为
，
为
上的动点，求
中点
到直线
为参数）距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（1）解不等式
;

（2）若关于
的不等式
的解集不是空集，试求实数
的取值范围.

北京101中学2014届高三第三次月考数学(理科)试卷参考答案

一、选择题：

1D2B3A4D5A 6A7C8C9A10C11A12D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．2 14．4或
15．
16．2

三、解答题：

17.

18、

（6分）

（6分）

19、（Ⅰ）解：
，由导数的几何意义得
，于是
．由切点
在直线
上可得
，解得
．所以函数
的解析式为
．(6分)

（Ⅱ）解：
．当
时，令
，解得
．当
变化时，
，
的变化情况如下表：

















＋

0

－

－

0

＋





↗

极大值

↘

↘

极小值

↗



所以
在
，
内是增函数，在
，
内是减函数．

在
上的最大值为
与
的较大者，对于任意的
，不等式
在
上恒成立，当且仅当
，即
，对任意的
成立．从而得
．(6分)

20、解：(Ⅰ)
. ∵最高点与相邻对称中心的距离为
,则
,即
, ∴
,∵
,∴
,又
过点
,∴
,

即
,∴
.∵
,∴
,∴
. (6分)

(Ⅱ)
,由正弦定理可得
, ∵
,∴
,

又
,
,∴
,由余弦定理得

,∴
. (6分)

21、解:(Ⅰ)f(x)=-lnx-ax2+x, f((x)=--2ax+1=-.令Δ=1-8a. 当a≥时,Δ≤0,f((x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减.当00,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2, 不妨设x10, 这时f(x)不是单调函数. 综上,a的取值范围是[,+∞). (6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当a∈(0,)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2, 且x1+x2=,x1x2=.

f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax+x1-lnx2-ax+x2 =-(lnx1+lnx2)-(x1-1)-(x2-1)+(x1+x2)=-ln(x1x2)+(x1+x2)+1=ln(2a)++1. 令g(a)=ln(2a)++1,a∈(0,], 则当a∈(0,)时,g((a)=-=<0,g(a)在(0,)单调递减, 所以g(a)>g()=3-2ln2,即f(x1)+f(x2)>3-2ln2. (6分)