海淀区高三年级第一学期期中练习

数学（文科） 2013.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合
，
，则
( B )



A.

B.

C.

D.



2. 下列函数中，为奇函数的是( D )



A.

B.

C.

D.



3. 已知向量
，且
，则实数
的值为( C )



A.

B.

C.

D.



4.“
”是“
”的（A）



A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件



C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件



5. 已知数列
的前
项和为
，且
，则
取最小值时，
的值是（B）



A. 3

B. 4

C. 5

D. 6



6.若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围( A )



A.

B.

C.

D.



7.若函数
存在极值，则实数
的取值范围是( A )



A.

B.

C.

D.



8.已知点
，
是函数
图象上不同于
的一点.有如下结论：

①存在点
使得
是等腰三角形；

②存在点
使得
是锐角三角形；

③存在点
使得
是直角三角形.

其中，正确的结论的个数为( B )



A. 0

B.1

C. 2

D. 3



二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 函数
的定义域是____________.

10.已知
，则
________.1

11. 已知等差数列
的前n项和为
，若
，则公差
___________.3

12.函数
的图象如图所示，

则
______________，
__________.
,

13. 向量
在正方形网格中的位置如图所示.

设向量
,若
，则实数
__________.3

14.定义在
上的函数
满足：

①当
时，
②
.

（i）
；

（ii）若函数
的零点从小到大依次记为
，则当
时，
_____________.

答案：3；

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分14分）

已知函数
.

（I）求
的最小正周期；

（II）求
在区间
上的取值范围.

解：（I）
---------------------------------------2分

-------------------------------------------------4分

-------------------------------------------------6分

最小正周期为
， -------------------------------------------------8分

（II）因为
，所以
--------------------------------------10分

所以
---------------------------------------12分

所以
，所以
取值范围为
.---------------14分

16.（本小题满分13分）

在
中，
，

.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值.

解：（Ⅰ）由
和
可得
, ---------------------------2分

所以
， --------------------------------------3分

又

所以
. ------------------------------------5分

（Ⅱ）因为
,
,

由余弦定理
可得 ------------------------------------7分

，即
. ------------------------------------9分

由正弦定理
可得
，---------------------------------12分

所以
.------------------------------------13分

17.（本小题满分13分）

已知等比数列
满足
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）若
，求数列
的前
项和公式.

解：（I）设等比数列
的公比为
，

由
得
① ----------------------------------2分

由
得
②----------------------------------4分

两式作比可得
，所以
， ----------------------------------5分

把
代入②解得
，----------------------------------6分

所以
. ----------------------------------7分

（II）由（I）可得
------------------------------8分

易得数列
是公比为4的等比数列，

由等比数列求和公式可得

.------------------------------13分

18.（本小题满分13分）

如图，已知点
，函数
的图象上的动点
在
轴上的射影为
，且点
在点
的左侧.设
，
的面积为
.

（I）求函数
的解析式及
的取值范围；

（II）求函数
的最大值.

解：（I）由已知可得
，所以点
的横坐标为
,----------------------------2分

因为点
在点
的左侧，所以
，即
.

由已知
，所以
， -------------------------------------4分

所以

所以
的面积为
.---------------------------6分

（II）
--------------------------7分

由
，得
（舍）,或
. --------------------------8分

函数
与
在定义域上的情况如下：



2







+

0







↗

极大值

↘



 ------------------------------------12分

所以当
时，函数
取得最大值8. ------------------------------------13分

19.（本小题满分14分）

已知函数

（I）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（II）求
的单调区间；

（III）若函数
没有零点，求
的取值范围.

解：（I）当
时，
，
------------------------------1分

，
-------------------------------3分

所以切线方程为
--------------------------------5分

（II）
-----------------------------6分

当
时，在
时
，所以
的单调增区间是
；-8分

当
时，函数
与
在定义域上的情况如下：













0

+





↘

极小值

↗



 ------------------------------------10分

（III）由（II）可知

①当
时，
是函数
的单调增区间，且有
，
，

所以，此时函数有零点，不符合题意； ---------------11分

②当
时，函数
在定义域
上没零点； --------------12分

③当
时，
是函数
的极小值，也是函数
的最小值，

所以，当
，即
时，函数
没有零点-------13分

综上所述，当
时，
没有零点. -------------------14分

20.（本小题满分13分）

已知数列
的首项
其中
，

令集合
.

（I）若
，写出集合
中的所有的元素；

（II）若
，且数列
中恰好存在连续的7项构成等比数列，求
的所有可能取值构成的集合；

（III）求证：
.

解：（I）集合
的所有元素为：4,5,6,2,3,1..-------------------------------3分

（II）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为
，

如果
是3的倍数，则
；如果
是被3除余1，则由递推关系可得
，所以
是3的倍数，所以
；如果
被3除余2，则由递推关系可得
，所以
是3的倍数，所以
.

所以，该7