北师大泉州附中2014届高三期中考试试卷数学（文科）试题答案

参考公式：锥体体积公式
,其中
为底面面积，
为高. （命题人：林贵清）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．已知i为虚数单位，复数
在复平面内对应的点位于（B ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．设集合
，
，则
等于（ D ）

A.
B.
C.
D.

3．“
”是“
”的（ A ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．下列命题正确的是（ D ）

．

．

．
　
．

5．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，给出下列条件，能得到
的是（ D ）

A．
B．
C．
D．

6．已知向量
，向量
，且
，则实数x等于（ C ）

A. 0 B. 4 C. -1 D. -4

7．若
是等差数列
的前n项和，
则
的值为（B ）

A．12 B．22 C．18 D．44

8．函数
的零点所在的区间是（C ）

A.
B.
C.
D.

9．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（ C ）

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

10．将函数
图象上的所有点向左平移
个单位长度，再把所得图像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ D ）

A．
B．
C．
D．

11．若对任意的
，函数
满足
，且
，则
（ D ）

A.0 B. 1 C.-2013 D.2013

12．一只蚂蚁从正方体
的顶点
处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点
位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ C ）

A． ①② B．①③ C． ②④ D．③④

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.

13．已知变量
满足
则
的最小值是______2______．

14．公差不为零的等差数列
中，若
，
，
成等比数列，则其公比
为 3 .

15．已知△
的三个内角
所对的边分别为
，若△
的面积为
,则

．

16．给出下列命题：

①
的最小值是2；②
；

③若不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围为
．

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

真命题的序号是 ②④ ．(写出所有正确命题的序号)

三、解答题：本大题共６小题，共74分．

17．（本小题满分12分）等差数列
中，
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
．

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由
………………………… 2分

解得
……… 4分 所以
．…… 6分

（Ⅱ）因为
，所以
，
，…………………… 9分

所以

．…… 12分

18．（本小题满分12分）已知函数
。

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若
，求
的值。

[解析]（1）由已知，f（x）=

所以f（x）的最小正周期为2
，值域为
。…………………6分

（2）法一：由（1）知f（
）=
所以

两边同时平方得：
所以
………12分

法二：由（1）知，f（
）=
所以cos（
。

所以

，………12分

19.（本小题满分12分）如图，在△OAB中，已
知P为线段AB上的一点，

（I）若
，求
，

的值；

（II）若
，
，
，且
与
的夹角为60°时，求
的值．

解（
1）∵
，∴
，即
，

∴
，即
，
．

（2）∵
，∴
，即
，

∴
，∴
，
．

20．（本小题满分12分）如图,某校有一块形如直角三角形
的空地,其中

为直角,
长
米,
长
米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占

地形状为矩形,且
为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.

【答案】[解]如图,设矩形为
,
长为
米,其中
,

健身房占地面积
为
平方米.因为
∽
,

以
,
,求得
,

从而

,

当且仅当
时,等号成立.

注：本题也可利用基本不等式的变形求解

21．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥
中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面
底面ABCD，且
，若E，F分别为PC，BD的中点．

（I）求证：
平面PAD；

（II）求证：平面PDC
平面PAD；

（III）求四棱锥
的体积．

解：（1）连接EF，AC

∵四棱锥
中，底面ABCD是边长为a的

正方形且点F为对角线BD的中点

∴对角线AC经过F点 ……1分

又在
中，点E为PC的中点

∴EF为
的中位线

∴
……2分

又
……3分

∴
平面PAD ……4分

（2）∵底面ABCD是边长为a的正方形

∴
……5分

又侧面
底面ABCD，
，侧面
底面ABCD=AD

∴
……7分

又

∴平面PDC
平面PAD ……8分

（3）过点P作AD的垂线PG，垂足为点G

∵侧面
底面ABCD，
，侧面
底面ABCD=AD

∴
，即PG为四棱锥
的高 ……9分

又
且AD=a∴
……10分

∴
……12分

22．（本小题满分14分）已知函数
，其导函数
的图象过原点.

(I)当
时，求函数
的图象在
处的切线方程；

(II)若存在
，使得
，求
的最大值；

(III)当
时，确定函数
的零点个数.

解：(１)因为
，由已知，
，则
.所以
.

当
时，
，
，则
，
.

故函数
的图象在
处的切线方程为
，即
.

(２) 由
，得
.

当
时，
，所以
.

当且仅当
时，
故
的最大值为
.

　（３) 当
时，
的变化情况如下表：

(－∞，0)

0

(－∞，a＋1)

a＋1

(a＋1，＋∞)



f ′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗





因为
的极大值
，

的极小值
，

因为
，则
.又
.

所以函数
在区间
内各有一个零点.

故函数
共有三个零点.