试卷类型：B

2014届高三月考试题四

数学

适用地区：新课标地区

考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、统计、统计案例、计数原理（仅理科有），概率、随机变量及其分布（仅理科有）

建议使用时间：2013年11月底

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝(　　)

A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}

C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}

【答案】A　[解析] 集合M＝{x|－1

2.[2013·湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)

A. B. C．－ D．－

【答案】A　[解析] ＝(2，1)，＝(5，5)，||·cos〈，〉＝＝，选A.

3. [2013·山东卷] 将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为(　　)

A. B. C．0 D．－

【答案】B　[解析] 方法一：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，若f(x)＝sin为偶函数，必有＋φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.

方法二：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，其对称轴所在直线满足2x＋＋φ＝kπ＋，k∈Z，又∵f(x)＝sin为偶函数，∴y轴为其中一条对称轴，即＋φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.

4.（理）[2013·天津卷] 已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．

其中真命题的序号是(　　)

A．①②③ B．①②

C．①③ D．②③

【答案】C　[解析] 由球的体积公式V＝πR3知体积与半径是立方关系，①正确．平均数反映数据的所有信息，标准差反映数据的离散程度，②不正确．圆心到直线的距离为＝＝r，即直线与圆相切，③正确．

（文）（河南省许昌新乡平顶山2012届高三第三次调研考试数学文）一个总体分为A,B,C三层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为50的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为
，则总体中的个数为（ ）

A.150 B.200 C.500 D.600

【答案】D

【解析】设总体个数为，由分层抽样的定义得
所以
.

5.（东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试（2012长春三模）数学文）现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】设两道题分别为AB题，所以抽取情况共有：AAA,AAB,ABA, ABB,BAA, BAB,BBA,BBB，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示的男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种；故所求事件的概率为
.

6.（理）【2012高考真题湖北理5】设
，且
，若
能被13整除，则
（ ）

A.0 B.1 C.11 D.12

【答案】D

【解析】

,显然当
,即
时，
的各项都是13的倍数，故能被13整除.又
，所以
.故选D.

（文）（海南省琼海市2012年高考模拟测试一数学文）为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（ ）

A.60%，60 B.60%，80 C.80%，80 D.80%，60

【答案】C

【解析】由频率分布直方图可知，及格率为
，优秀人数为

.

7. [2013·新课标全国卷Ⅱ] 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)

A. B．－ C. D．－

【答案】C　[解析] S3＝a2＋10a1�輆1＋a2＋a3＝a2＋10a1�輆3＝9a1�輖2＝9，a5＝9�輆3q2＝9�輆3＝1�輆1＝＝，故选C.

8.（理）（云南昆明一中2012届高三第二次摸底测试数学理）某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用
表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于
的是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】
.

（文）[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)

A．2 B．1 C．－ D．－

【答案】C　[解析] 不等式组表示的可行域如图，联立解得P，

当M与P重合时，直线OM斜率最小，此时kOM＝＝－.

9. [2013·全国卷] 若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是(　　)

A．[－1，0] B．[－1，＋∞)

C．[0，3] D．[3，＋∞)

【答案】D　[解析] f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立，由于y＝－2x在上单调递减，所以y<3，故只要a≥3.

10.（山东省潍坊市2012届高三第二次模拟考试数学文）已知双曲线
的左、右焦点分别为
为
的右支上一点，且
，则
等于（ ）

A.24 B.48 C.50 D.56

【答案】C

【解析】由双曲线
的方程
，得
，所以
.又由双曲线的定义，得
，所以
.

所以
.

11.（河南省许昌新乡平顶山2012届高三第三次调研考试数学文）已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点是
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】设棱长都为1，连接AC,BD交于点O，连接OE.因为所有棱长都相等，不放设 ABCD是正方形，所以O是BD的中点，且OE//PD，故
为异面直线AE与PD所成的角.易知

.在
中，由余弦定理得

.

12.（理）(河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学理)已知长方形ABCD，抛物线
以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线
与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是（ ）

A.不论边长
如何变化，P为定值； B.若
-的值越大，P越大；

C.当且仅当
时，P最大； D.当且仅当
时，P最小.

【答案】A

【解析】以E为原点，CD为x轴，过点E垂直于CD的直线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示.设正方形的长为2a，宽为b，则
，设抛物线方程为
，代入点B，得
，所以
.阴影面积
，矩形ABCD的面积
,故由几何概型得，所求事件的概率为
为常数.故选A.

（文）(宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学文)曲线
在点
处的切线为，则上的点到圆
上的点的最近距离是( )

A.
B.2
C.
D.2

【答案】B

【解析】因为
，所以
.所以曲线
在点
处的切线方程为
，即：
.圆
的圆心为
，半径为1，且圆心
到直线：
的距离为
，所以上的点到圆
上的点的最近距离是
.

第II卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.

13. 【2012高考湖南文12】不等式x2－5x＋6≤0的解集为________．

【答案】{x|2≤x≤3}

【解析】解不等式得 (x－2)(x－3)≤0，即2≤x≤3，所以不等式的解集是{x|2≤x≤3}．

14.（理）（云南昆明一中2012届高三第二次摸底测试数学理）设曲线
，直线
轴所围成的平面区域为M，
，向区域内随机设一点A，则点A落在M内的概率为 .

【答案】

【解析】如图，
的面积为
，的面积为
，故由几何概型得，所求的概率为
.

（文）（云南昆明一中2012届高三第二次摸底测试数学文）小华的妈妈经营一家饮品店，经常为进货数量而烦恼，于是小华带妈妈进行统计，其中某种饮料的日销售量y（瓶）与当天的气温x（℃）的几组对照数据如下：

根据上表得回归方程
中的
，据此模型估计当气温为35℃时，该饮料的日销售量为

瓶.

【答案】244

【解析】由已知，得
，
，将点
代入回归方程
中，得
，所以回归方程为
.所以当
时，
.

15. [2013·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．

【答案】　[解析] 由题意知F(c，0)，l：x＝，不妨设B(0，b)，则直线BF：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.

于是d1＝＝，

d2＝－c＝＝.

由d2＝d1，得＝6，

化简得6c4＋a2c2－a4＝0，

即6e4＋e2－1＝0，

解得e2＝或e2＝－(舍去)，

故e＝，故椭圆C的离心率为.

16.（理）（黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第三次模拟考试数学理）将标号为
的
个小球放入
个不同的盒子中.若每个盒子放个，其中标号为
的小球不能放入同一盒子中，则不同的方法共有 种.

【答案】72

【解析】将6个小球放入3个盒子，每个盒子中2个，有
种情况.其中标号为1,2的球放入同一个盒子中有
种，所以满足题意的方法共有90-18=72种.

（文）（湖北省武汉市2012届高三四月调研测试数学文）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1、s2、s3，则它们的大小关系为 .（用“＞”连接）

【答案】

【解析】甲数据的平均值为

，同理，乙数据的平均值为
，丙数据的平均值为
，可见甲乙丙三者的平均值都处在频率分布直方图的最中间一列，此时，若越靠近中间列所占的频率越大，则相应的方差越小，明显丙的中间列及附近列所占的频率最大，其次是乙，甲中间列及附近列所占的频率最小，故
.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17.（本小题满分10分）

[2013·江西卷] 正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.

【解】(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得

[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.

由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.

于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.

综上，数列{an}的通项为an＝2n.

(2)证明：由于an＝2n，bn＝，

则bn＝＝.

Tn＝



＝<