“十校”2013——2014学年度高三第一次联考

数学（文科）试题 2013.8

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集

=（ ）

A．{1,2} B．{3,4,5} C．{1,2,6,7} D．{1,2,3,4,5}

2．设复数
，
，若
为实数，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．若平面向量

与b的夹角是
，且︱
︱
，则b的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知函数
则函数
的零点个数为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5. 在等比数列
中, 若
, 则
的值为（ ）

A .
B.
C.
D.

6. 下列有关命题的说法正确的是 ( )．

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
” 是“
”的必要不充分条件.

C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题.

D．命题“
使得
”的否定是：“
均有
”．

7. 已知函数
，下面结论错误的是（ ）

A. 函数
的最小正周期为
B. 函数
在区间
上是增函数

C. 函数
的图像关于直线
对称 D. 函数
是奇函数

8. 若双曲线
的离心率为2，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体

的体积是（ ）

A．
　　 B.
C．
D.
（第9题图）

10. 已知
都是定义在
上的函数，
，
，
，
，在有穷数列
中，任意取正整数
，则前
项和大于
的概率是 ( )

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

11. 如图，函数
，
，若输入的
值为 3，

则输出的
的值为 .

12．函数
（
的图象必定

经过的点坐标为 .

13. 已知实数
满足约束条件
，则

的最小值是 .

14．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，圆
的圆心极坐标为 ．

15．（几何证明选讲选做题）

如图，
是半圆
的直径，
是半圆
上异于
的点，

，垂足为
. 若
，
，则
．

（第15题图）

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

16（本小题满分12分）

.已知锐角
中，内角
的对边分别为
，且
，
，

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
的面积.

17.（本小题满分12分）

某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生.

（1）完成下面的
列联表；

不喜欢运动

喜欢运动

合计



女生

50







男生









合计



100

200





（2）在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间， 发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段
和
的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.

18.（本小题满分14分）

在如图所示的几何体中,
是边长为2的正三角形. 若
平面
,

平面
平面
,
,且

（1）求证：
//平面
;

（2）求证：平面

平面
.



19.（本小题满分14分）

已知椭圆
的左右焦点分别为
，且经过点
,
为椭圆上的动点，以
为圆心，
为半径作圆
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若圆
与
轴有两个交点，求点
横坐标的取值范围.

20．(本小题满分14分)

已知函数
（
，
，
且
）的图象在
处的切线与
轴平行.

（1）确定实数
、
的正、负号；

（2）若函数
在区间
上有最大值为
，求
的值．

21．(本小题满分14分)

已知数列
是各项均不为0的等差数列，公差为d，
为其前n项和，且满足
,
．数列
满足
,
，
为数列
的前n项和．

（1）求数列
的通项公式
；

（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）是否存在正整数

，使得
成等比数列？若存在，求出所有

的值；若不存在，请说明理由．

“十校”2013——2014学年度高三联考 数学（文科）评分标准 2013.8

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

B

C

B

C

D

B

D

C



二．填空

11. 9 12.
13.
14.
15.

三、解答题

16. （1）

，即
. ……………………………3分

又
为锐角, ∴
, ∴
, ∴
. ………………………5分

（2）∵在锐角
中，
. …………………………………7分

∵又
,且
为锐角，∴
. …………………………………………8分

∴
, ……………10分

∴
. ……………………12分

17. 解：（1）根据分层抽样的定义，知抽取男生130人，女生70人， ……………1分

不喜欢运动

喜欢运动

合计



女生

50

20

70



男生

50

80

130



合计

100

100

200



………3分

（2）由直方图知在
内的人数为4人，设为
.

在
的人数为2人，设为
. …………………5分

从这6人中任选2人有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd

共15种情况 ………………………7分

若
时，有
共六种情况． ………………………9分

若
时，有
一种情况． …………………………10分

事件A:“她们在同一区间段”所包含的基本事件个数有
种，……………………11分

故

答：两名女生的运动时间在同一区间段的概率为
. ………………………12分

18



证明:(1) 取
的中点
,连接
、
,

因为
，且

所以
,
,
. ……………………………1分

又因为平面
⊥平面
,

所以
平面
……………………………3分

因为
平面
,

所以
∥
， …………………………4分

又因为
平面
,
平面
， ………………………………5分

所以
∥平面
. ………………………………6分

(2)由(1)已证
∥
,又
,
,

所以四边形
是平行四边形, ………………………………7分

所以
∥
. ………………………………8分

由（1）已证
，又因为平面
⊥平面
,

所以
平面
, ………………………………10分

所以
平面
. ……………………………11分

又
平面
,所以
. ………………………………12分

因为
,
,

所以
平面
. ………………………………13分

因为
平面
,

所以平面
⊥平面
. ………………………………14分

19. 解：（1）由椭圆定义得
， …………1分

即
, …………3分

. 又
,
. ……5分

故椭圆方程为
. ……6分

（2）设
，则圆
的半径
， ……7分

圆心
到
轴距离
, …………8分

若圆
与
轴有两个交点则有
即
, …………9分

化简得
. …………10分

为椭圆上的点
, …………11分

代入以上不等式得

，解得
. …………12分

, …………13分

. …………14分

20. 解：（1）
…………1分

由图象在
处的切线与
轴平行，

知
，∴
. …………2分

又
，故
，
. ………………………… 3分

(2) 令
,

得
或
. ………………………… 4分

∵
，令
，得
或

令
，得
.

于是
在区间
内为增函数，在
内为减函数,在
内为增函数.

∴
是
的极大值点，
是极小值点. ………………………… 5分

令
，得
或