“十校”2013—2014学年度高三第一次联考

理科数学试题

本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷 （选择题 共4 0分）

一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合
，
，若
，则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．如图，在复平面内，复数
，
对应的向量分别是

，
，则复数
对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3．已知等差数列
中，
，
，则前10项和
（ ）

A ． 55 B ． 155 C ． 350 D ． 400

4．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n

个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)

（单　位：元），其中支出在
（单位：元）的同学

有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n的值为（ ）

　A．100 　 B．120 C．130 D．390

5．平面四边形
中
，

，则四边形
是 （ ）

A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．菱形

6． 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰

直角三角形，则这个几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

7．下列命题：①函数
的最小正周期是
；

②函数
是偶函数；

③若
，则
； ④椭圆
的离心率不确定。

其中所有的真命题是（ ）

A.①② B.③④ C.②④ D.①③

8．设三位数
，若以
为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数
有(　　)

A．45个 B．81个 C．165个 D．216个

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

(一)必做题(9～13题)

9． 已知
，则
=________ ．

10．若

则a3= 。

11. 右图是一个算法的程序框图，最后输出的W＝________.

12．在区间
内随机地取出一个数
，使得

的概率为 ．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图4中的实心点个数1，5，12，22，…， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作
，第2个五角形数记作
，第3个五角形数记作
，第4个五角形数记作
，……，若按此规律继续下去，若
，则
．

（二）选做题：第14、1 5题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．

14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知在平面直角坐标系xoy中圆C的参数方程为：

，（
为参数），以OX为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：

则圆C截直线所得弦长为 .

15.(几何证明选讲选做题)如图，△ABC是
的内接三角形，

PA是
的切线，PB交AC于点E,交
于点D，

PA=PE,
，PD=1，PB=9，则EC=

三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知函数
,
．

（1）求函数
的最大值和最小值；

（2）设函数
在
上的图象与
轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为
,

求
与
的夹角的余弦．

17．（本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可 入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米
75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

（I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求

恰有一天空气质量达到一级的概率;

（II）从这15天的数据中任取三天数据，记
表示抽到PM2.5

监测数据超标的天数，求
的分布列;

（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，

则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到

一级或二级．

19．（本小题满分14分）

设
为数列
的前
项和，对任意的
，都有
(
为正常数)．

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）数列
满足
，求数列
的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列
的前
项和
．

20．（本大题满分14分）如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆

的左顶点
为圆心作圆
：
，设圆
与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的最小值，并求此时圆
的方程；

（3）设点
是椭圆
上异于
,
的任意一点，

且直线
分别与
轴交于点
，
为坐标原点，

求证：
为定值．

21．（本大题满分14分） 已知函数

（1）若x=2为
的极值点，求实数a的值；

（2）若
在
上为增函数，求实数a的取值范围；

（3）当
时，方程
有实根，求实数b的最大值。

“十校”2013—2014学年度高三第一次联考

理科数学答案

一、选择题 C B B A D A D C

1. 【答案】C 【解析】由
,得
，∴
，从而
，
，

2．【答案】B 【解析】复数
，
，
，

3．【答案】B 【解析】由
。

4．【答案】A 【解析】支出在
的同学的频率为
，

。

5．【答案】D 【解析】
，

，
。

6．【答案】A 【解析】四棱锥如图，

7．【答案】D 【解析】①

②
,
定义域不关于原点对称，
不是偶函数。

③若
，则
；

④

（确定）

8．【答案】C 【解析】
要能构成三角形的边长，显然均不为0。即
（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为
，由于三位数中三个数码都相同，所以，。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为
，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有
组。但当大数为底时，设a>b，必须满足
。此时，不能构成三角形的数码是

a

9

8

7

6

5

4

3

2

1



b

4，32，1

4，32，1

3，21

3，21

1，2

1，2

1

1





共20种情况。 同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有
种情况。故
，。 综上，
。

二、填空题：9．
；10． 80 ； 11． 22 ； 13． 10 ；14．
；15． 4 。

9．【答案】
【解析】
所以
，
=

10．【答案】80 【解析】
，

11．【答案】22 【解析】第1次运算得：S=1，T=3 ；第2次运算得：S=8 ，T= 5 ；第3次运算得：S=25－8 =17>10, 这时输出的W＝17+5=22

12．【答案】
【解析】由
，得

，

所以所求概率为
．

13．【答案】10 【解析】由于
，

类比得

所以

，由
，得
或
（舍）

14．【答案】
【解析】圆C的参数方程为
的圆心为
,半径为3,

直线普通方程为
,即
,

圆心C
到直线
的距离为
,

所以圆C截直线所得弦长

15．【答案】4 【解析】弦切角
，又PA=PE,

所以
为等边三角形，由切割线定理有
，所以AE=EP=PA=3，

ED=EP
PD=2，EB=PB
PE=9
3=6，由相交弦定理有：

三、解答题：

16．解：（1）
， ………3分

∵
，∴
，

∴函数
的最大值和最小值分别为1，－1． ………5分

（2）解法1：令
得
．………6分

∵
，∴
或
，∴
………8分

由
，且
得
，∴
………9分

∴
………10分

∴

． ………12分

解法2：过点P作
轴于
,则
………6分

由三角函数的性质知
,
, ………8分

由余弦定理得
=
．………12分

解法3：过点P作
轴于
,则
………6分

由三角函数的性质知
,
．………8分

在
中，
．………10分

∵PA平分
，∴

…12分

17.解：（Ⅰ）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件
，
. ………4分























（Ⅱ）依据条件，
服从超几何分布：其中
，
的可能值为

………5分

其分布列为：

. ………8分

（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
，…9分

一年中空气质量达到一级或二级的天数为
，则
～
………10分

， ……11分

一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级 …… 12分

18.证明：记
中点为
。连结
、FA ，则 AB

FE

所以AB
FE…1分

所以
为平行四边形。
………2分

又
,

………4分

（2）连结BD在直角梯形
中。
，
，
，所以
，
…… 5分

，… 6分

又
，

，… 7分

而

面
面
…… 8分

19．（本小题满分14分）

（1）证明：当
时，
，解得
．……………1分

当
时，
．即
．…………2分

又
为常数，且
，∴
．

∴数列
是首项为1，公比为
的等比数列． ……………………3分

（2）解：
． ………………………4分

∵
，∴

，即
．…………5分

∴
是首项为
，公差为1的等差数列．………………………6分

∴
，即
．…………7分

（3）解：由（2）知
，则

所以
……8分

当n为偶数时，

令
………①

则
………②

①-②得

=

=
=

……10分

令
………③

………④

③-④得

=

=
=

……