试卷类型：B

2014届高三月考试题三

数学

适用地区：新课标地区

考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何

建议使用时间：2013年10月底

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【湖北省黄冈市2013届高三年级3月份质量检测数学理】如图2所示的韦恩图中，A、B是两非零集合，定义集合
为阴影部分表示的集合，若
，则
为

　　　A.
　　　　　　　　B.
　

C.
　　　　　D.

【答案】D

【解析】
，故阴影部分表示的集合为
,即
.故选D.

2. (宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学理)若
，则
的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】由
解得
，所以
.所以
=

.

3. [2013·四川卷] 函数y＝的图像大致是(　　)

图1－5

【答案】C　[解析] 函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．

4.（理）【2012高考真题浙江理3】设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行，所以条件具有充分性；若直线l1与直线l2平行，则有：＝，解之得：a＝1 或 a＝－2，经检验，均符合，所以条件不具有必要性.故条件是结论的充分不必要条件.

（文）【2012高考真题浙江文4】设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若a＝1，则直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋2y＋4＝0平行；若直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋2y＋4＝0平行，则2a－2＝0即a＝1.所以“a＝1”是“l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋2y＋4＝0平行”的充要条件.

5. [2013·安徽卷] 在下列命题中，不是公理的是(　　)

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】A　【解析】 选项B、C、D中的都是公理，都是平面的三个基本性质．

6. [2013·全国卷] 已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)

A．－6(1－3－10) B.(1－310)

C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)

【答案】C　【解析】 由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且＝－，所以数列{an}是公比为－的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3×＝3(1－3－10)．

7.【2012高考山东文9】圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为（ ）

A.内切 B.相交 C.外切 D.相离

【答案】B

【解析】因为两圆的圆心距为＝，又因为3－2<<3＋2，所以两圆相交.

8.（昆明第一中学2012届高三第一次摸底测试数学理）已知
（其中
为正数）,若
,则
的最小值是（ ）

A.2 B.
C. D.8

【答案】C

【解析】因为
,所以
,即
.又
为正数,所以

,当且仅当
,即
时等号成立.故
的最小值是4.

9. [2013·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π

【答案】A【解析】由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V＝2×2×4＋×π×22×4＝16＋8π.

10.【2012高考真题新课标理8文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为（ ）

A. B.2 C.4 D.8

【答案】C

【解析】由题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0).易知抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，联立得16－y2＝a2(*)，因为|AB|＝4，所以y＝±2.代入(*)式，得16－(±2)2＝a2，解得a＝2(a>0).所以C的实轴长为2a＝4，故选C.

11. [2013·天津卷] 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B　【解析】f(x)＝2x|log0.5 x|－1＝＝

∵f(x)＝－2xlog2x－1在(0，1]上递减且x接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有一零点；又∵f(x)＝2xlog2x－1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log2 2－1＝3>0，∴f(x)在(1，＋∞)上有一零点．故f(x)共有2个零点．

12. （河南省郑州市2012届高三第一次质量预测数学理）如图，过抛物线
的焦点F的直线
交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若
，且
，则此抛物线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】作
准线交准线于点,由抛物线的定义得
.故由
,得
,所以
.故直线
的倾斜角为
.所以直线
的方程为
.联立
消去得
，解得
.故由抛物线的定义得
.所以此抛物线的方程为
.

第II卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卷相应位置上.

13[2013·福建卷] 椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．

【答案】－1　[解析] 如图，△MF1F2中，∵∠MF1F2＝60°，∴∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，|MF2|＝c，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝＝＝－1.

14.[2013·四川卷] 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．

【答案】2　【解析】根据向量运算法则，＋＝＝2，故λ＝2.

15.【2012高考真题辽宁理16】已知正三棱锥
ABC，点P，A，B，C都在半径为
的求面上，若PA，

PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。

【答案】

【解析】因为在正三棱锥
ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥
ABC在面ABC上的

高。已知球的半径为
，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥
ABC在面ABC上的高为
，所以球心到截面ABC的距离为

16. (宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学理)给出下列四个命题：

①已知
都是正数，且
，则
；

　　②若函数
的定义域是
，则
；

③已知x∈（0，π），则
的最小值为
；　

④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则
的值等于2.

其中正确命题的序号是________.

【答案】①④

【解析】对于①，由
，得
，又
都是正数，所以
，即
.故①正确；对于②，令
，此时函数
的定义域是
，不是
，故②错误；对于③，设
，则
，因为
在区间
上单调递减，所以
的最小值是
，即
的最小值为3，故③错误；对于④，由题意，
，所以


.故④正确.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17.（本小题满分10分）

[2013·陕西卷] 已知向量a＝cos x，－，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在上的最大值和最小值．

【解】f(x)＝cos x，－·(sin x，cos 2x)

＝cos xsin x－cos 2x

＝sin 2x－cos 2x

＝cos sin 2x－sincos 2x

＝sin2x－.

(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，

即函数f(x)的最小正周期为π.

(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.

由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.

当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，

当2x－＝π，即x＝时，f＝，

∴f(x)的最小值为－.

因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.

18.（本小题满分12分）

（理）【2012高考真题山东理18】在如图1－5所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.

(1)求证：BD⊥平面AED；

(2)求二面角F－BD－C的余弦值.

【解】(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，

所以∠ADC＝∠BCD＝120°.

又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，

因此∠ADB＝90°，AD⊥BD.

又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，

所以BD⊥平面AED.

(2)解法一：取BD的中点G，连接CG，FG，

由于CB＝CD，因此CG⊥BD，

又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FC⊥BD，

由于FC∩CG＝C，FC，CG?平面FCG，

所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，

所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角.

在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，

因此CG＝CB.

又CB＝CF，

所以GF＝＝CG，

故cos∠FGC＝，

因此二面角F－BD－C的余弦值为.

解法二：由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.

又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，

以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF

所在的直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设CB＝1，则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1).

因此＝，＝(0，－1,1).

设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，

所以x＝y＝z，取z＝1，则m＝(，1,1).

由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，

则cos〈m，〉＝＝＝，

所以二面角F－BD－C的余弦值为.

（文）【2012高考真题山东文19】如图1－6，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

图1－6

【解】(1) 证明：取BD的中点O，连接CO，EO.

由于CB＝CD，所以CO⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC?平面EOC，

所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，

又O为BD的中点，所以BE＝DE.

(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，

因为M是AE的中点，所以MN∥BE.

又MN?平面BEC，BE?平面BEC，

所以MN∥平面BEC，

又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，

又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，

所以DN∥BC.

又