试卷类型：B

2014届高三月考试题二

数学

适用地区：新课标地区

考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式

建议使用时间：2013年9月底

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【2013高考真题辽宁】 已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　)

A．(0，1) B．(0，2]

C．(1，2) D．(1，2]

【答案】D　【解析】∵A＝{x|1

2．【2012高考真题辽宁理4】已知命题p： x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)≥0，则p是（ ）

A. x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0

B. x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0

C. x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)<0

D. x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2x1)<0

【答案】C

【解析】命题p为全称命题，所以其否定p应是特称命题，又“(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定为“(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”，故“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”.故而答案选C.

3. (宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学理)各项均为正数的等比数列
中，且
，则
等于（ ）

A.16 B.27 C.36 D.－27

【答案】B

【解析】由
,得
，由等比数列的性质可得，
依次构成等比数列，又等比数列
中各项均为正数，所以可得
.

4. (宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学理)已知
的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为
，则这个三角形的周长是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】不妨设三边长
依次构成公差为的等差数列，则角
为最大角.所以由已知得
.所以
（
为最大角，不可能
，否则
，不符合题意）.由
，及
，解得
.所以周长为
.

5. 【2012高考新课标文5】已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（ ）

A.(1－，2) B.(0，2) C.(－1，2) D.(0，1+)

【答案】A

【解析】作出三角形的区域如图，由图象可知当直线
经过点
时，截距最大，此时
，当直线经过点C时，截距最小.因为
轴，所以
.又
的边长为2，设点
，则
，解得
.因为顶点C在第一象限，所以
.即点
.将点
代入直线
，得
，所以的取值范围是
.选A.

6.（理）【湖北省黄冈市2013届高三年级3月份质量检测数学理】已知A，B，C，D是函数
一个周期内的图象上的四个点，如图所示，
B为轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，
在轴上的投影为
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

【答案】A

【解析】因为
在轴上的投影为
，又点
，所以函数的四分之一个最小正周期为
，即函数的最小正周期为.故
.又点
是处于递增区间上的零点，所以
，则
.又因为
，所以
.故选A.

（文）【2012高考新课标文9】已知ω>0，
，直线
和
是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为
和
是函数图象中相邻的对称轴，所以
，解得
.又
，所以
.所以
.因为
是函数的对称轴，所以
，所以
.因为
，所以
.检验知此时
也为对称轴，所以选A.

7.（河南省郑州市2012届高三第一次质量预测数学理）已知曲线
与直线
相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为P1, P2, P3…，则|
|等于（ ）

A. B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】因为

，令
，得
，所以
或
、
，则
或
.故点
,所以

.

8. [2013·湖南卷] 函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为(　　)

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B　【解析】 法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：

可知，其交点个数为2，选B.

法二：也可以采用数值法：

x

1

2

4



f(x)＝2ln x

0

2ln 2＝ln 4>1

ln 42<5



g(x)＝x2－4x＋5

2

1

5



可知它们有2个交点，选B.

9.（河南省郑州市2012届高三第一次质量预测数学理）若
,则代数式
的最小值为（ ）

A.2 B.3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】因为
，所以
.所以

，当且仅当
且
，即
时等号同时成立.故代数式
的最小值为4.

10.（理）（山西省太原市2012届高三模拟试题（二）数学文）已知函数
有两个零点
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】
，在同一坐标系中作出函数
与
的图象，不妨设
，则由函数对称性可知
，得
，即
.所以
.

（文）(宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学理)已知函数
,若有
,则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】
,若有
,则
，解得
.

11.(宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学文)对于非零向量
，定义运算“”：
，其中为
的夹角，有两两不共线的三个向量
，下列结论正确的是( )

A.若
，则
B.

C.
D.

【答案】D

【解析】对于A项，由
，得
，得
，不能得到
，故A项错误； B项只有在夹角为0时才成立，故B项错误；对于C项，
是一个与共线的向量，
是一个与共线的向量，又它们两两不共线，显然不可能相等；故C项错误；故选D项.

12.【2012高考新课标文12，理16】数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为（ ）

A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

【答案】D

【解析】由
,得

，

即
，也有
，

两式相加得
.

设
为整数，则
.

于是
.

第II卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卷相应位置上.

13．[2013·江苏卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．

【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)　[解析] 设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x)．

又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等价于

或

解得x>5或－5

故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．

14. [2013·广东卷] 给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取值最大值或最小值的点}．则T中的点共确定________条不同的直线．

【答案】6　【解析】由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分，易知线性目标函数z＝x＋y在点(0，1)处取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)处取得最大值，这些点一共可以确定6条直线．

15．[2013·北京卷] 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

【答案】4　【解析】 以向量a和b的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x轴和y轴建立直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，则解得所以＝4.

16．（昆明第一中学2012届高三第一次摸底测试数学文理）在
中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足
,则
的最大值是 .

【答案】1

【解析】由
，得
，又由正弦定理，得
，所以
.又
，所以
.又
，所以
.故
.则
.所以

.故当
时，
取得最大值1.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17．（本小题满分10分）

[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

【解】(1)由已知及正弦定理得

sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①

又A＝π－(B＋C)，故

sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②

由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.

又B∈(0，π)，所以B＝.

(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.

由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .

又a2＋c2≥2ac，故

ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．

因此△ABC面积的最大值为＋1.

18.（本小题满分12分）

[2013·陕西卷] 设{an}是公比为q的等比数列．

(1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．

【解】(1)设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

∴Sn＝，∴Sn＝

(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

即a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

即aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.

∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

19.（本小题满分12分）

【2012高考真题山东理17】已知向量
，函数
的最大值为6.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象.求
在
上的值域.

【解】（Ⅰ）f(x)＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x＝A＝Asin.