2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学试题（文史类）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题

1．复数
（
为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．

2．设点
，则“
且
”是“点
在直线
上”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定．因为
点代入直线方程，符合方程，即“
且
”可推出“点
在直线
上”；而点
在直线上，不一定就是
点，即“点
在直线
上”推不出“
且
”．故“
且
”是“点
在直线
上”的充分而不必要条件．

3．若集合
，则
的子集个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．16

【答案】C

【解析】本题考查的是集合的交集和子集．因为
，有2个元素，所以子集个数为
个．

4．双曲线
的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

A．
B．
C．1 D．

【答案】B

【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为
，取一条渐近线为
，所以点
到直线
的距离为
．

5．函数
的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知
，即函数为偶函数，排除C；由函数过
点，排除B,D．

6．若变量
满足约束条件
，则
的最大值和最小值分别为（ ）

A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0

【答案】B

【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．

7．若
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】本题考查的是均值不等式．因为
，即
，所以
，当且仅当
，即
时取等号．

8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数
后，输出的
，那么
的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】本题考查的是程序框图．循环前：
；第1次判断后循环：
；第2次判断后循环：
；第3次判断后循环：
．故
．

9．将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
的图象都经过点
，则
的值可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把
代入
，解得
，所以
，把
代入得，
或
，观察选项，故选B

10．在四边形
中，
，则该四边形的面积为（ ）

A．
B．
C．5 D．10

【答案】C

【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为
，所以
，所以四边形的面积为
，故选C

11．已知
与
之间的几组数据如下表：

1

2

3

4

5

6





0

2

1

3

3

4





假设根据上表数据所得线性回归直线方程为
．若某同学根据上表中前两组数据
和
求得的直线方程为
，则以下结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断
．故选C

12．设函数
的定义域为
，
是
的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

A．
B．
是
的极小值点

C．
是
的极小值点 D．
是
的极小值点

【答案】D

【解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A错误；因为
和
关于原点对称，故
是
的极小值点，D正确．

二．填空题

13．已知函数
，则

【答案】

【解析】本题考查的是分段函数求值．
．

14．利用计算机产生
之间的均匀随机数
，则事件“
”发生的概率为

【答案】

【解析】本题考查的是几何概型求概率．
，即
，所以
．

15．椭圆
的左、右焦点分别为
，焦距为
．若直线
与

椭圆
的一个交点
满足
，则该椭圆的离心率等于

【答案】

【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，
中，
，所以有
，整理得
，故答案为
．

16．设
是
的两个非空子集，如果存在一个从
到
的函数
满足；

（i）
；（ii）对任意
，当
时，恒有
．

那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：

①
；

②
；

③
．

其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）

【答案】①②③

【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知
为函数的一个定义域，
为其所对应的值域，且函数
为单调递增函数．对于集合对①，可取函数
，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数
，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数
，是“保序同构”．故答案为①②③．

三．解答题

17．（本小题满分12分）已知等差数列
的公差
，前
项和为
．

（1）若
成等比数列，求
；

（2）若
，求
的取值范围．

本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（1）因为数列
的公差
，且
成等比数列，

所以
，即
，解得
或
．

（2）因为数列
的公差
，且
，

所以
；即
，解得

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
，
．

（1）当正视图方向与向量
的方向相同时，画出四棱锥
的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；

（2）若
为
的中点，求证：
；

（3）求三棱锥
的体积．

本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，满分12分．

解法一：

（Ⅰ）在梯形
中，过点
作
，垂足为
，

由已知得，四边形
为矩形，

在
中，由
，