山东省实验中学2010级第二次模拟考试

数学试题（文科） 2013.06

注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。两卷合计150分，考试时间为120分钟。选择题答案填
涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上.

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，集合
，若

，则
的值是 （ ）

2．复数
为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 （ ）

3．“
”是“
”的 （ ）

充分不必要条件
必要不充分条件

充要条件
既不充分也不必要条件

4．直线
与平面
，满足
，
，
，
，则必有 （ ）

且


且


且


且

5. 在等比数列
中，
则
（ ）

．3
．

．3或

．
或

6. 已知某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积是
（ ）

．

．

．

．

7．以点
为圆心并且与圆
相外切的圆的方程是 （ ）

．

．

．

．

8.已知
满足约束条件
，则
的最小值为 （ ）

．

．

．

．

9. 函数
在区间
内的图像是

． B. C. D.

10.
是
内的一点，
，则
的面积与
的面积之比为 （ ）

．

．

．

．

11． 在区间
和
分别取一个数,记为
, 则方程
表示焦点在
轴上且离心率小于
的椭圆的概率为 （ ）

．

．

．

．

12. 函数
的图象如图所示，则函数
的零点所在的区间是 （ ）

．

．

．

．

第II卷（非选择题 90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.

13.已知
是奇函数,
则
的值是
.

14.阅读右图程序框图． 若输入
，则输出
的值为___________．

15.在
中，若
,
,
,则
_______________.

16.设
，定义
为
的导数，即
，

，若
的内角
满足
，则
的值是 .

三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）已知函数
（
），直线
，
是
图象的任意两条对称轴，且
的最小值为
．

（1）求
的表达式；

（2）将函数
的图象向右平移
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若关于
的方程
，在区间
上有解，求实数
的取值范围.

18.（本小题满分12分）
年“五一”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔
辆就抽取一辆的抽样方法抽取
名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（
）分成六段：





后得到如图
的频率分布直方图．

求这
辆小型车辆车速的众数及平均车速.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

（2）若从车速在
的车辆中任抽取
辆，求车速在
的车辆至少有一辆的概率.

19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，

平面
平面
，四边形
为平行四边形，

，
.

（1）求证：
平面
；

（2）求三棱锥
的体积．

20.（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，对一切正整数

，点
都在函数
的图像上，且过点
的切线的斜率为
．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

（1）求数列
的通项公式． （2）若
，求数列
的前
项和
．

21.（本小题13分）已知椭圆
：
的离心率
，且经过点

.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）如果斜率为
的直线
与椭圆交于两个不同的点
，试判断直线
的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由.

22.（本小题13分）已知函数

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；

（2）若
在区间
单调递增，求
的取值范围
；

（3）若
，证明：对任意
都有
成立.

山东省实验中学2010级第二次模拟考试文科数学参考答案

一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B

7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12. B

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.

13.
14.
15.
16.

三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17、解：

[来源:学科网]

……………………………… 4分

（1）
直线
，
是
图象的任意两条对称轴，且
的最小值为
．

的最小正周期
，
……………
……………7分

………………………………………………………………
8分

（2）将函数
的图象向右平移
个单位后得函数解析式为
……………………………………………………9分

再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数

，…………………………………………………………………10分

，
.……………………12分

18．解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于
…………2分

这
辆小型
车辆的平均车速为：

（
）……5分

（2）从图中可知，车速在
的车辆数为：
（辆）…………6分

车速在
的车辆数为：
（辆）…………………………7分

设车速在
的车辆设为
，车速在
的车辆设为
，则所有基本事件有：

共15种…………9分

其中车速在
的车辆至少有一辆的事件有：

共14种 …………………11分

所以，车速在
的车辆至少有一辆的概率为
. ……………………………12分

19. 解：（1）∵平面
平面
，且平面
平面

平面

平面
. ………………
……………2分

平面

，…………………………………………………………3分

又

………………………………………
………4分

且
，
平面ECBF．……………………………………………………6分[来源:学科网ZXXK]

（2）设
的中点为
，连接
，

………………………7分

∵平面
平面
，且平面
平面
，
平面
…8分

(法二：由（1）可知
平面
，
平面

，………………7分

又

平面
． …………………………………………8分

，
平面
，所以点
到平面
的距离就等于点
到平面
的距离，即点
到平面
的距离为
的长 …………………………………………………9分

……………………11分

即三棱锥
的体积为
． ………………12分[来源:学.科.网Z.X.X.K]

20、解：（1）
点
都在函数
的图像上，

,

当
时，

当ｎ＝1时，
满足上式，所以数列
的通项公式为
…………5分

（2）由
求导可得

过点
的切线的斜率为
，
.

.

①

由①×4，得
②

①-②得：

…………………………………………………………………12分

21、解：（1）由题意，
,

椭圆C经过点A
，
，

又
，解得
，

所以椭圆方程为
. ……………………………………………………………4分 （2）设直线
的方程为：
，代入

得
.………………………………………………………………5分

且
；…………………………………………8分

设
，由题意，
，
；…………………………9分

分子为：

又
，
，

.………………………………………………………………………12分

即，直线
的斜率之和是为定值
.……………………………………………13分

22、解：(1)
，直线
的斜率为
，

所以，曲线
在点
处的切线斜率为
，…………………2分

即：
…………………………4分

（2）

由题意可知，
在区间
上恒成立，

即
在区间
上恒成立.…………………………5分

对于函数
，对称轴为
.

所以
或
，可解的：
或
.

所以
的取值范围为：
.……………………………………………………8分

（3）构造函数
，

则
………………………………9分

对于函数
，

恒成立，
恒成立

在
单调递增，……………………………………………………11分

从而对任意
有
，即
，

故
；

同理，对任意
也有
，

综上，对任意
都有
成立.……………13分

【另解】原题等价于函数
任
意两点确定的割线斜率
，即在任意一点处的切线斜率

即证当
时，
，

即：
，…………………………………………11分

因为
，所以函数
的对称轴为
，

……………………
13分