2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.

考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.

所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 设全集为R, 函数
的定义域为M, 则
为

(A) [－1,1] (B) (－1,1)

(C)
(D)

2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为

(A) 25

(B) 30

(C) 31

(D) 61

3. 设a, b为向量, 则“
”是“a//b”的

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为

(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是

(A)
(B)

(C)
(D)

6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是

(A) 若
, 则
(B) 若
, 则

(C) 若
, 则
(D) 若
, 则

7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若
, 则△ABC的形状为

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

8. 设函数
, 则当x>0时,
表达式的展开式中常数项为

(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15

9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是

(A) [15,20] (B) [12,25]

(C) [10,30] (D) [20,30]

10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有

(A) [－x] ＝ －[x] (B) [2x] ＝ 2[x]

(C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 双曲线
的离心率为
, 则m等于 .

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .

13. 若点(x, y)位于曲线
与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .

14. 观察下列等式:

…

照此规律, 第n个等式可为 .

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)

A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 .

B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于
内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ .

C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角
为参数, 则圆
的参数方程为 .

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. (本小题满分12分)

已知向量
, 设函数
.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在
上的最大值和最小值.

17. (本小题满分12分)

设
是公比为q的等比数列.

(Ⅰ) 推导
的前n项和公式;

(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列
不是等比数列.

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,
.

(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;

(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角
的大小.

19. (本小题满分12分)

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.

20. (本小题满分13分)

已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是
的角平分线, 证明直线l过定点.

21. (本小题满分14分)

已知函数
.

(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;

(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线
公共点的个数.

(Ⅲ) 设a