绝密 ★ 启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（理科）

4．将函数
的图像向左平移
个单位长度后，所得到的图像关于
轴对称，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

5．已知
，则双曲线

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等

6．已知点A（-1,1）、B（1,2）、C（-2,1）、D（3,4），则向量
和
方向上的投影为

A．
B．
C．
D．

7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度
行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：
）是

A．
B．
C．
D．

8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为
这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有

9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)=

A．
B．
C．
D．

11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。

（1）直方图中x的值为___________；

（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。

12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=___________。

13．设
，且满足：
则
___________。

14．古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为
，记第n个k边形数为
，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

……………………………………………………………..

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=_________________。

二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框图用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，圆
上一点
若
.

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直线坐标系
中，椭圆
的参数方程为
在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴为正半轴 为极轴）中，直线
与圆
的极坐标分别为
若直线
经过椭圆
的焦点，且与圆
相切，则椭圆的离心率为 .

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在

（I）求角
的大小；

（II）若

数学（理工类） 试卷A型 第4页（共6页）

18.（本小题满分12分）

已知等比数列
满足：

（I）求数列
的通项公式；

（II）是否存在正整数
使得
若不存在，说明理由.

19.（本小题满分12分）

如图，
是圆
的直径,点

上异于
的点，直线

（I）记平面
并加以说明；

（II）设（I）中的直线
记直线
异面直线所成的锐角为
，二面角

20.（本小题满分12分）

假设每天从甲地去乙地的旅客人数

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为

求
的值；

（I）（参考数据：若
）

（II）某客运公司用
两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每年每天往返一次，
两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求
型车不多于
型车7辆。若每天要以不小于
的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备

数学（理工类） 试卷A型 第5页（共6页）

21.（本小题满分13分）

如图，已知椭圆
长轴均为
短轴长分别为
过原点且不与
轴重合的直线
与
从大到小依次为
记

（I）当直线
与
轴重合时，若

（II）当
变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线
，使得

22.（本小题满分14分）

设
为正整数，
为正有理数.

（I）求函数

（II）证明：

（III）设
记
不小于
的最小整数，例如

令

（参考数据：
）

数学（理工类） 试卷A型 第6页（共6页）