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201３年重庆一中高2013级高三下期第三次月考

数 学 试 题 卷（理科） 2013.5

数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集
集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.向量
，且
∥
，则锐角的余弦值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.
的展开式中，常数项等于（ ）

A. 15 B. 10 C.
D.

4.在等差数列
中每一项均不为0，若
，则
（ ）

A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014

5.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

6.在
中，已知
，那么
一定是（ ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形

7.若定义在R上的函数
的导函数是
，则函数
的单调递减区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

8 右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值。若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )

A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个

9 已知正数
满足
则
的最小值为（ ）

A. B. 4 C.
D.

10过双曲线
的左焦点

，作倾斜角为
的直线FE交该双曲

线右支于点P，若
，且

则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共
分)

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.

11.在复平面内，复数
对应的点位于虚轴上，则

12.某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.

13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3，
，9的9个小正方形，使得任意相邻（由公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有 种。

考生注意：14，15，16三题为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分

14．
是圆O的直径，为圆O上一点，过作圆O的切线交
延长线于点
，若DC=2，BC=1，则
.

15.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为
、
，则
（其中O为极点）的面积为

16 .若不等式
的解集为空集，则实数的取值范围为

三.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置）

17．（本小题满分13分）

已知向量
，
，函数

图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点
。

（1）求函数
的解析式

（2）当
时，求函数
的单调区间。

18 （本小题满分13分）

设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局。在一局比赛中，甲胜乙的概率为
，甲胜丙的概率为
，乙胜丙的概率为
。比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束。

（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；

（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为
，求
的概率分布列和数学期望
。

19 （本小题满分13分）

　已知函数
，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（Ⅱ）若函数
存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为
，求的

值.

20 （本小题满分12分）

　　如图，四边形ABCD中，
为正三角形，
，
，AC与BD交于O点．将
沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在
内．

（Ⅰ）求证：
平面PBD；

（Ⅱ）若
时，求二面角
的余弦值。

21（本小题满分12分）

中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为
，且经过点
。

若分别过椭圆的左右焦点
、
的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆分别交于A、

B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率
、
、
、
满足

．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在定点M、N，使得
为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．

22 （本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列
满足：
。

（1）求
的通项公式

（2）当
时，求证：

命题人：谢 凯

审题人：王 明

2013年重庆一中高2013级高三下期第三次月考

数 学 答 案（理科） 2013.5

一.选择题.(每小题5分,共50分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

A

C

A

B

C

C

B

 B





二.填空题.(每小题5分,共25分)

11.0 12.
13.
14.
15.
16.

三.解答题.(共75分)

17.(13分)

解：（1）

，由题意得周期
故
，又图象过点
所以
，即
，而
，故
，

则：

（2）当
时，

当
时，即
时，
是减函数。

当
时，即
时，
是增函数。

则函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是

18.(13分)

解：（1）只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束的概率为

（2）

，

的分布列为：

2

3

4



P











19.(13分)

解：（Ⅰ）
， 当
时，
，

，
，所以曲线
在
处的切线方程为
切线与轴、轴的交点坐标分别为
，
， 所以，所求面积为
.

（Ⅱ）因为函数
存在一个极大值点和一个极小值点，

所以，方程
在
内存在两个不等实根，

. ，则

设
为函数
的极大值和极小值，

则
，
，

因为，
，所以，
，

即
，
，
，

解得，
，此时
有两个极值点，所以
.

20.(12分)

解：（1）取BD中点Q，则
三点共线，即Q与O重合。

则
面PBD

（2）因为AC面PBD，而
面ABCD，所以面ABCD面PBD，则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），所以PO与平面ABCD所成的角
。以O为坐标原点，OA为轴，OB为轴建空间直角坐标系。
，因为AC面PBD，所以面PBD的法向量
，设面PAB的法向量
，又
，由
，得
①，又
，由
，得

②， 在①②中令
，可得
，则

所以二面角
的余弦值

21.(12分)

解：（1）设椭圆方程为
，则由题意知
，则

，则椭圆方程为
，代入点
的坐标可得

，所求椭圆方程为

（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)．

当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为
，
，设
，
，

由
得　
，∴
，
．

，同理

．∵
， ∴
，即
．又
，　∴
．

设
，则
，即
，

由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足，∴
点椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得
为定值
．

22(12分)

解：（1）
，猜测：
。下用数学归纳法证明：

①当
，猜想成立；

②假设当
时猜想成立，即
，

由条件
，

，

两式相减得：
，则当
时，

，

时，猜想也成立。

故对一切的
成立。

（2）
，即证：

对
，令
（
），则

，

显然
，
，所以
，

所以
，
在
上单调递减．

由
，得
，即
．

所以
，
．

所以

． 得证。