山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试

数学试题（理）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数
满足
（
为虚数单位），则z的虚部为

A.
B.2 C.1 D.

2.函数
的定义域是

A.
B.
C.
D.

3.设某高中的女生体重
（单位：
）与身高
（单位：
）具有线性相关关系，根据一组样本数据
，用最小二乘法建立的回归方程为
，则下列结论不正确的是

A.
具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心

C.若该高中某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D.若该高中某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

4.如右图，一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

5.下列选项中，说法正确的是

A.命题“若
，则
”的逆命题是真命题；

B.设
是向量，命题“若
”的否命题是真命题；

C.命题“
”为真命题，则命题
均为真命题；

D.命题“
”的否定是“
”.

6.若曲线
与曲线
在交点
处有公切线，则

A.
B.0

C.1 D.2

7.已知数列
，若利用如图所示的程序框图计算并输出该数列的第10项，则判断框内的条件可以是

A.
B.

C.
D.

8.已知函数
的大致图象是

9.斜率为
的直线与双曲线
恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
为奇函数，该函数的部分图象如图所示，
是边长为2的等边三角形，则
的值为

A.
B.
C.
D.

11.某艺校在一天的5节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他两门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为

A.
B.
C.
D.

12.已知实数
满足约束条件
若函数
的最大值为1，则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸相应的位置.

13.在
中，角A、B、C的对边分别是a,b,c，若
，则角A等于 ▲ .

14.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 ▲ 万只.

15.设单位向量
▲ .

16.过抛物线
的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是坐标原点，则
的最小值是 ▲ .

三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.

17.（本小题满分12分）

已知函数

（I）求
的单调递增区间；

（II）已知
.

18.（本小题满分12分）

已知等差数列
的首项
，其前n项和为
，且
分别是等比数列
的第2项，第3项，第4项.

（I）求数列
与
的通项公式；

（II）证明

19.（本小题满分12分）

某次考试中，从甲、乙两个班级各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于60分为及格.

（I）从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，已知有人及格，求乙班学生不及格的概率；

（II）从甲班10人中取1人，乙班10人中取2人，三人中及格人数记为
，求
的分布列及期望.

20.（本小题满分12分）

在如图的多面体中，
平面ABE,

（I）求证：BE//平面ACF；

（II）求证：
；

（III）求二面角C—DF—E的余弦值.

21.（本小题满分12分）

某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品.根据经验知道，若每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量
之间满足关系：
已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件装次品将亏损1万元.（利润=盈利—亏损）

（I）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润
（万元）表示为
的函数；

（II）当每台机器的日产量
（万件）写为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？

22.（本小题满分14分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，点
是椭圆上任意一点，且
，椭圆的离心率

（I）求椭圆E的标准方程;

（II）直线
交椭圆E于另一点
，椭圆右顶点为A，若
，求直线
的方程；

（III）过点
作直线
的垂线，垂足为N，当
变化时，线段PN的长度是否为定值？若是，请写出这个定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.