山东省临沂市2013届高三5月高考模拟 文科数学

2013.5

本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷 (选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设
（i是虚数单位），则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

2．已知集合
则集合B可能是

（A）
（B）

（C）
（D）R

3．下列函数中既是偶函数，又在区间
上单调递增的函数是

（A）
（B）
（C）
（D）

4．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是

（A）10 （B）11 （C）12 （D）16

5．将函数
的图象向右平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为

（A）
（B）
（C）
（D）

6．曲线
在点A处的切线与直线
平行，则点A的坐标为

（A）
（B）
（C）
（D）

7．阅读如图所示的程序框图，若输入变量n为100，则输出变量S为

（A）2500 （B）2550 （C）2600 （D）2650

8．给出如下四个命题：

①若“p∧q”为假命题，则p,q均为假命题；

②命题“若
,则
”的否命题为“若
,则
”；

③命题“任意
”的否定是“存在
”；

④在△ABC中，“
”是“
”的充要条件.

其中不正确命题的个数是

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

9．设第一象限内的点（
）满足
若目标函数
的最大值是4，则
的最小值为

（A）3 （B）4 （C）8 （D）9

10．函数
的图象大致是

（A） （B） （C） （D）

11．多面体MN-ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长

（A）
（B）
（C）
（D）

12．已知
，现给出如下

结论：①
；②
；③
；④
.其中正确结论的序号为：

（A）①③ （B）①④ （C）②④ （D）②③

2013年高考模拟试题

文科数学

2013.5

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.

13．若△ABC的边
满足
且C=60°，则
的值为 .

14．已知圆C：
，直线l：
则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为 .

15．假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费（万元）有如下的统计资料：

使用年限x

2

3

4

5

6



维修费用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0



由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程
中的
据此估计，使用年限为10年时的维修费用是 万元.

16．已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距离为

4，且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为（
），则双曲线的焦距为 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知
函数
的最小正周期为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的值域.

18．（本小题满分12分）

已知点（1,2）是函数
的图象上一点，数列
的前n项和
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）将数列
前2013项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列
前2013项中剩余项的和.

19．（本小题满分12分）

如图，AD平面ABC，AD∥CE，AC=AD=AB=1，∠BAC=90°，凸多面体ABCED的体积为
，F为BC的中点.

（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：平面BDE平面BCE.

20．（本小题满分12分）

某高校组织的自主招生考试，共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组[60,70），第2组[70,80），第3组[80,90），第4组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.

（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；

（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比乙的高；面试时，要求每人回答两个问题，假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均为 ；

若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.

21．（本小题满分12分）

设函数
.

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若
，且
在区间
内存在极值，求整数
的值.

22．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为
，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点
任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记
，若在线段MN上取一点R，使得
，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程.

2013年高考模拟试题

文科数学参考答案及评分标准

2013.5

说明：

一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.

二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：（每小题5分，满分60分）

1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(C) 6.(B) 7.(B) 8.(D) 9.(B) 10.(C) 11.(C) 12.(D)

二、填空题：（每小题4分，满分16分）

13. 4 14.
15. 12.38 16.

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）依据题意，

………………………………（1分）

.…………………………………………………（4分）

函数的最小正周期T=，

………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
………………………………（7分）

当
时，可得
………………………（8分）

有
…………………………………………（11分）

所以函数
在
上的值域是
………………（12分）

18．解：（Ⅰ）把点（1,2）代入函数
，得
.……………………（1分）

…………………………………………（2分）

当
时，
…………………………………（3分）

当
时，

……………………………………………（5分）

经验证可知
时，也适合上式，

.…………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列
为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2013项也为等比数列，首项
公比
为其第671项………………………………………………………………（8分）

∴此数列的和为
……………………（10分）

又数列
的前2013项和为

…………………………………（11分）

∴所求剩余项的和为
…（12分）

19．（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABC，AC面ABC，AB面ABC，

∴AD⊥AC，AD⊥AB，

∵AD∥CE，∴CE⊥AC

∴四边形ACED为直角梯形.……………（1分）

又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∴AB⊥面ACED.

………………（2分）

∴凸多面体ABCED的体积

求得CE=2.……………………………………………………（3分）

取BE的中点G，连结GF，GD，

则GF∥EC，GF
CE=1，

∴GF∥AD，GF=AD，四边形ADGF为平行四边形，

∴AF∥DG.………………………………………………………（5分）

又∵GD面BDE，AF面BDE，

∴AF∥平面BDE.………………………………………………（7分）

（Ⅱ）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC.………………………………………………………（8分）

由（Ⅰ）知AD⊥平面ABC，AD∥GF，∴GF⊥面ABC.

∵AF面ABC，∴AF⊥GF. ……………………………………（9分）

又BC
GF=F，∴AF⊥面BCE.…………………………………（10分）

又∵DG∥AF，∴DG⊥面BCE.……………………………（11分）

∵DG面BDE，∴面BDE⊥面BCE.……………………（12分）

20．解：（Ⅰ）设第
组的频率为
，则由频率分布直方图知

…………………………（2分）

所以成绩在85分以上的同学的概率P≈

…………………………………（5分）

故这1000名同学中，取得面试资格的约有1000×0.38=380人.…（6分）

（Ⅱ）设答对记为1，打错记为0，则所有可能的情况有：

甲00乙00，甲00乙10，甲00乙01，甲00乙11，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，

甲10乙11，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，甲01乙11，甲11乙00，甲11乙10，

甲11乙01，甲11乙11，共16个………………………………………（9分）

甲答对题的个数不少于乙的情况有：

甲00乙00，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，

甲11乙00，甲11乙01，甲11乙10，甲11乙11，共11个……………（11分）

故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为
.………………………（12分）

21．解：（Ⅰ）由已知
.…………………………（1分）

当
时，
函数
在
内单调递增；………（2分）

当
时，由
得
∴
；……………（3分）

由
得
∴
.……………………（4分）

∴
在
内单调递增，在
内单调递减.…………（5分）

（Ⅱ）当
时，

∴
………………………………………（6分）

令
，

则
∴
在
内单调递减.……………………（8分）

∵

…………………………（9分）

∴
即
在（3,4）内有零点，即
在（3,4）内存在极值.

…………………………………（11分）

又∵
在
上存在极值，且
，∴k=3.……………（12分）

22．解（Ⅰ）∵△AF1F2的周长为
，

∴
即
. ……………………（1分）

又
解得
………………（3分）

∴椭圆C的方程为
………………………………（4分）

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，

设其方程为

由

得
…………………………………（6分）

则
……………………………………（7分）

由
，得

∴
∴
.……………………………………（8分）

设点R的坐标为（
），由
，

得

∴

解得
………………（10分）

而

∴
…………………………………………………（13分）

故点R在定直线
上. ………………………………………………（14分）