山东省2013届高三高考模拟卷（一）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．把复数
的共轭复数记作
，
为虚数单位，若
，则

A．
B．
C．
D．4

2．已知集合
，集合
，则

A．
B．

C．
D．

3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：

若某高校A专业对视力的要求在0．9以上，则该班学生中能报A专业的人数为

A．10 B．20 C．8 D．16

4．下列说法正确的是

A．函数
在其定义域上是减函数

B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

C．命题“
，
”的否定是“
，
”

D．给定命题
，若
是真命题，则
是假命题

5．将函数
的图象向左平移
个单位后得到函数
的图象，则下列说法中正确的是

A．函数
是奇函数，最小值是

B．函数
是偶函数，最小值是

C．函数
是奇函数，最小值是

D．函数
是偶函数，最小值是

6．已知点
满足
过点P的直线与圆
相交于A，B两点，则AB的最小值为

A．2 B．
C．
D．4

7．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是

A．
B．
C．
D．

8．执行如图所示的程序框图，若输入
，
，则输出
，
的值分别为

A．5，1 B．30，3 C．15．3 D．30．6

9．若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的
，则该双曲线的渐近线方程是

A．
B．
C．
D．

10．我们定义若函数
为D上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D上的任何取值有意义；(2)对于区间D上的任意
个值
，总满足
，那么下列四个图象中在
上满足凹函数定义的是

11．若

，则

A．
B．
C．
D．

12．已知
为互不相等的三个正实数，函数
可能满足如下性质：

①
为奇函数；②
为奇函数；③
为偶函数；④
为偶函数；⑤
．类比函数
的对称中心、对称轴与周期的关系，某同学得到了如下结论：

(i)若满足①②，则
的一个周期为
；(ii)若满足①③；则
的一个周期为
；(iii)若满足③④，则
的一个周期为
；(iv)若满足②⑤；则
的一个周期为
．

其中正确结论的个数为( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．

13．已知向量
，
，且
满足
，则实数
_______．

14．对任意的实数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是________．

15．由直线
，曲线
以及
轴围成的封闭图形的面积为________．

16．如图放置的边长为2的正方形PABC沿
轴滚动．设顶点
的轨迹方程是
，则
在其两个相邻零点间的图象与
轴所围成的区域的面积为______．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．

17．(本小题满分12分)

在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知
，
．

(1)求cosC的值；

(2)若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．

18．(本小题满分12分)

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF，
，EF=2，BE=3，CF=4．

(1)求证：EF⊥平面DCE；

(2)当AB的长为何值时，二面角
的平面角的大小为
．

19．(本小题满分12分)

为迎接2013年“两会”（全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日）的胜利召开，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金
元，正确回答问题B可获奖金
元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．

20．(本小题满分12分)

已知数列
的前
项和为
，且满足
，数列
为等差数列，且
，
．

(1)求数列
与
的通项公式；

(2)若
，
，求
的值．

21．(本小题满分13分)

已知椭圆C：
的离心率为
，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P(4，0)，A，B是椭圆C上关于
轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与
轴相交于定点Q；

(3)在(2)的条件下，设过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求
的取值范围．

22．(本小题满分13分)

已知函数
，的图象过点
，且在点
处的切线与直线

垂直．

(1)求实数
的值；

(2)求
在
为自然对数的底数）上的最大值；

(3)对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在
轴上？

山东省2013届高三高考模拟卷（一）

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A 【解析】由
得


．

2．D【解析】由题意得集合
或
，故

，又集合
，所以

．

3．B【解析】该班学生视力在0．9以上的频率为
，故该班50名学生中能报A专业的人数为
．

4．D 【解析】由减函数的定义易知
在其定义域上不是减函数，A错；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件，B错；命题“
，
”的否定是“
，
”，C错；由
是真命题可知
和
都是真命题，故
一定是假命题，D正确，选D．

5．C【解析】由题易得
，将
的图象向左平移
个单位后，得

的图象，易知
为奇函数，最小值为
，故选C．

6．D 【解析】当P点同时满足(1)P为AB的中点；(2)P点到D点的距离最大时，AB取得最小值．P点的可行域如图所示，因为直线
和直线

垂直，故P点的坐标是(1，3)时，OP最大．易知此时AB=4，故选D．

7．B【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2，1，其直观图如图所示．则该几何的侧面积

．

8．D【解析】执行程序框图可知，当
时，
；当
时，
；…；当
时，
，即
能被
整除，退出循环，输出
的值分别为30，6．

9．C【解析】由双曲线
的对称性可取其一个焦点
和一条渐近线
，则该点到该渐近线的距离为
，而
，因此
，

，所以
，因此双曲线的渐近线方程为
．

10．A【解析】要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D，在A、B、C这三个选项中可以考虑特值法，取
，
，则显然选项B、C不满足
，故选A．

11．B【解析】令
得
①，

令
得
②，

由①②联立，可得

，

，

从而


．

12．B【解析】由
的图象知，两相邻对称中心的距离为
两相邻对称轴的距离为
，对称中心与距其最近的对称轴的距离为
，若满足①②，则
的两个相邻对称中心分别为
，
，从而有
，即
；若满足①③，则
的对称轴为
，与对称轴相邻的对称中心为
，有
，即
；若满足③④，则
的两个相邻的对称轴为
和
，从而有

，即
；若满足②⑤，则
的对称中心为
，与其相邻的对称轴为
，从而有
，即

．故只有(iii)(iv)错误．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．

13．
【解析】由
，
，得

，
，因为
，所以
，即
，解得
．

14．
【解析】当
时，
；当
时，原不等式变形可得
，因为
(当且仅当
时，等号成立)，所以
，即
的最大值是
，所以
．

15．
【解析】由
，解得直线
和曲线
的交点坐标是(1，1)，结合图形可知，由直线
，曲线
以及
轴围成的封闭图形的面积为



．

16．4
【解析】由于本题是求两个相邻零点问的图象与
轴所围成的区域的面积，所以为了简便，可以直接将P点移到原点，开始运动，如图所示，当P点第一次回到
轴时经过的曲线是三段相连的圆弧，它与
轴围成的区域面积为
．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．

17．【解析】(1)因为
，且
，

，

则

．

(2)由(1)可得

．

由正弦定理得
，即
，解得AB=14．

因为在△BCD中，
，

，

所以
．

18．【解析】

(1)由题易知在△BCE中，
，BE=3，

所以
，

又在△FCE中，

，所以 EF⊥CE，

因为平面ABCD⊥平面EFCB，DC⊥BC，所以DC⊥平面EFCB，

又EF
平面EFCB，所以DC⊥EE，

又DC
EC=C，所以EF⊥平面DCE．

(2) 法一过点B作BH⊥EF交FE的延长线于点H，连接AH．

由平面ABCD⊥平面BEFC，

又平面ABCD
平面BEFC=BC，AB⊥BC，

所以AB⊥平面BEFC，从而AB⊥EF，

又因为BH⊥EF，BH