山东省临沂市2013届高三5月高考模拟 理科数学

2013.5

本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．

2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
（i是虚数单位）的实部是

（A）
（B）
（C）
（D）

2．集合
若
，则M∪N=

（A）
（B）
（C）
（D）

3．某商品的销售量y（件）与销售价格x（元/件）存在线性相关

关系，根据一组样本数据
，用最小二乘

法建立的回归方程为
则下列结论正确的是

（A）y与x具有正的线性相关关系

（B）若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则

（C）当销售价格为10元时，销售量为100件

（D）当销售价格为10元时，销售量为100件左右

4．平面向量与
的夹角为60°，
则

（A）
（B）
（C）4 （D）12

5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是

（A）11 （B）12 （C）13 （D）14

6．函数
的大致图象为

7．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），

则该几何体的表面积为

（A）
（B）

（C）
（D）

8．已知函数
的最小正周期为
，则

（A）函数
的图象关于点（
）对称

（B）函数
的图象关于直线
对称

（C）函数
的图象向右平移
个单位后，图象关于原点对称

（D）函数
在区间
内单调递增

9．双曲线
与抛物线
相交于A,B两点，

公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

10．若集合
则“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

11．若函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是

（A）4 （B）
（C）2 （D）

12．已知定义在R上的函数
对任意的都满足
，当
时，
，若函数
至少6个零点，则取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

2013年高考模拟试题

理科数学

2013.5

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.

13．若
，则
.

14．某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从调查的1000人中抽出100人作电话询访，则
（百元）月工资收入段应抽出 人.

15．已知奇函数

则
的值为 .

16．在区间
上任取两数m和n，则关于x的方程
有两不相等实根的概率为 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
，
.

（Ⅰ）求B和C；

（Ⅱ）若
，求△ABC的面积.

18．（本小题满分12分）

某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：

答对题目个数

0

1

2

3



人数

5

10

20

15



根据上表信息解答以下问题：

（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；

（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.

19．（本小题满分12分）

已知数列
满足
（
为常数），
成等差数列.

（Ⅰ）求p的值及数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足
，证明：
.

20．（本小题满分12分）

如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使
.

（Ⅰ）求证：平面AOD⊥ABCO；

（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，已知椭圆C：
的离心率 ，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3,0）的直线交椭圆C于点A、B.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当
时，求实数t的取值范围.

22．（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的极大值.

（Ⅱ）求证：存在
，使
；

（Ⅲ）对于函数
与
定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得
和
都成立，则称直线
为函数
与
的分界线.试探究函数
与
是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由.

2013年高考模拟试题

数学试题（理）参考答案及评分标准 2013.5

说明：

一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.

二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：（每小题5分，满分60分）

1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(B) 5.(C) 6.(D) 7.(A) 8.(C) 9.(B) 10.(A) 11.(D) 12.(A)

二、填空题：（每小题4分，满分16分）

13.
14. 15 15.-8 16.

三、解答题：

17. 解：（Ⅰ）由
用正弦定理得

……………………（1分）

∴

…………………………………（2分）

即

∴
………………………………………………………（3分）

∵

∴
………………………………………………（4分）

∴
.…………………………………………………………（5分）

又
，∴
，

解得
…………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）
，由正弦定理，

得
………………………………（8分）

∴△ABC的面积
……………（9分）

……………………………………（12分）

18．解（Ⅰ）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则

………………………………………（3分）

，…………………………………（5分）

即两人答对题目个数之和为4或5的概率为
……………………（6分）

（Ⅱ）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3.

则
………………………（7分）

……………………（8分）

………………………………（9分）

…………………………………………（10分）

从而X的分布列为：

X

0

1

2

3

…………（11分）



P













X的数学期望
……………（12分）

19．解：（Ⅰ）由

得

∵
成等差数列，

∴

即
得
………………………………………（2分）

依题意知，

当
时，

…

相加得

∴

∴
……………………………………………………………（4分）

又
适合上式， ………………………………………………………（5分）

故
……………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）证明：∵
∴

∵
…………………（8分）

若
则

即当
时，有
…………………………………………………（10分）

又因为
………………………………………………………（11分）

故
……………………………………………………………………（12分）

（Ⅱ）法二：要证

只要证
…………………………………………………………（7分）

下面用数学归纳法证明：

①当
时，左边=12，右边=9，不等式成立；

当
时，左边=36，右边=36，不等式成立.…………………………（8分）

②假设当
时，
成立. …………………（9分）

则当
时，左边=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2，

要证3×9k2≥9（k+1）2 ，

只要正3k2≥（k+1）2 ，

即证2k2-2k-1≥0.…………………………………………………………（10分）

而当k
即
且
时，上述不等式成立.………………（11分）

由①②可知，对任意
，所证不等式成立.…………………………（12分）

20．（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，

∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，

∴∠AOB=90o,即OB⊥OA.………………………………………………（1分）

取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=
，

在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=
,

在△BHD中，DH2+BH2=
又DB2=3，

∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………………………………………（2分）

又DH⊥OA, OA∩BH=H ……………………………………………（3分）

∴DH⊥面ABCO，……………………………………………………（4分）

而DH∈平面AOD，…………………………………………………（5分）

∴平面AOD⊥平面ABCO. …………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：分别以直线OA，OB为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
.

∴
……（7分）

设平面ABD的一个法向量为

由
得

即
令
则
，

取
………………………………………………………………（9分）

设为直线BC与平面ABD所成的角，

则
………………………………………（11分）

即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为
………………………（12分）

21．解：（Ⅰ）∵
∴
…………………………（1分）

则椭圆方程为
即

设
则

……………………（2分）

当
时，
有最大值为
…………………………（3分）

解得
∴
，椭圆方程是
……………………（4分）

（Ⅱ）设
方程为

由

整理得
.………………………………（5分）

由
，得
.

………………………………………（6分）

∴

则
,

………………………（7分）

由点P在椭圆上，得

化简得
①………………………………………………（8分）

又由

即
将
，
代入得

…………………………………（9分）

化简，得

则
,………………………………………………………（10分）

∴
②

由①，得

联立②，解得
∴
或
………………（12分）

22．解：（Ⅰ）
……………………………………（1分）

令
解得

令
解得
.……………………………………………………（2分）

∴函数
在（0,1）内单调递增，在
上单调递减. ……………（3分）

所以
的极大值为
…………………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
在（0,1）内单调递增，在
上单调递减，

令

∴
………………………………………………（5分）

取
则

………………………………（6分）

故存在
使
即存在
使

………………………………………………（7分）

（说明：
的取法不唯一，只要满足
且
即可）

（Ⅱ）设

则

则当
时，
，函数
单调递减；

当
时，
，函数
单调递增.

∴
是函数
的极小值点，也是最小值点,

∴

∴函数
与
的图象在
处有公共点（
）.………（9分）

设
与
存在“分界线”且方程为
，

令函数

①由
≥
，得
在
上恒成立，

即
在
上恒成立，

∴
，

即
，

∴
，故
………………………………………（11分）

②下面说明：
，

即
恒成立.

设

则

∵当
时，
,函数
单调递增，

当
时，
,函数
单调递减，

∴当
时，
取得最大值0，
.

∴
成立.………………………………………（13分）

综合①②知
且

故函数
与
存在“分界线”
，

此时
…………………………………………………（14分）