白山市第一中学2013届高三第三次模拟考试数学理试题

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．复数
=

A、2+I B、2-I C、1+2i D、1- 2i

2．已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则

(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

3．设不等式
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．阅读下面程序框图，则输出结果
的值为( )

A．
B．
C．
D．

5．已知数列
为等差数列，若
，且它们的前
项和
有最大值，则使

的
的最大值为（ ）

A. 19 　　 B. 11 C. 20 D. 21

6．已知某次月考的数学考试成绩
～
,统计结果显示
，则
( )

A．
B．
C．
D．

7．函数
且
在区间
上单调递增，且函数值从
增大到
，那么函数图像与
轴交点的纵坐标为（ ）

A. 1 B.
C.
D.

8．如图，已知长方体
中，
,
,则二面角
的余弦值为

A.
B.
C.
D.

9．函数
的图象大致为( ).

10．一元二次不等式
的解集是
，则
的值是（ ）

A、
 B、
 C、
 D、


11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为
，且两条曲线在第一象限的交点为
，
是以
为底边的等腰三角形，若
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，
，则
的取值范围是（ ）

A．（1，
） 　 B．（
，
）　　 C．（
，
） 　 D．（
，+
）

12．已知点P是抛物线
上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线
的距离是d2，则dl+d2的最小值是（ ）

A.
 B.
 C.
 D．3

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．将甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在乙、丙的前面，则不同的安排方法共有 种.

14．已知数列{an}是等差数列，且
，
，若
，则
_________．

15．已知命题
．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 ．

16．两点等分单位圆时，有相应正确关系为
；三点等分单位圆时，有相应正确关系为
。由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为

三、解答题（本大题共5大题，共60分）

17（12分）．已知函数f（x）=
，其中a>0，

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间
上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。

18（12分）．设
和
分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量
表示方程
实根的个数（重根按一个计）．

（1）求方程
有实根的概率；

（2）求
的分布列和数学期望；

（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程
有实根的概率.

19（12分）．已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△
，使得平面
⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：
平面ABD；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

（12分）

已知椭圆
过点
，离心率
，若点

椭圆C上，则点
称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。

21（12分）已知抛物线
与直线
相交于
两点.

（1）求证：以
为直径的圆过坐标系的原点
；（2）当
的面积等于
时，求
的值.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22（10分）（选修4-1：几何证明选讲）

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC。

（1）求证：CE·EB = EF·EP；

（2）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长。

23（10分）．选修4－4：坐标系与参数方程

⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为
.

（Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程.

24．（10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数

(1)证明:

(2)求不等式:
的解集

参考答案

16．

17．（Ⅰ） y=6x-9；（Ⅱ）略。

18．（1）
（2）
的分布列为

0

1

2



P










的数学期望

（3）
.

19．（Ⅰ）先证
（Ⅱ）
（Ⅲ）

(Ⅰ)由已知
解得
，
，方程为
·

所以

(2) 当直线
的斜率不存在时，设方程为
（
）

联立椭圆方程得：

代入
得到
即
，

综上：
的面积是定值

又
的面积
，所以二者相等. ·······12分