云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

参考公式：

样本数据
的标准差

其中
为样本平均数

柱体体积公式

其中
为底面面积，
为高

锥体体积公式

其中
为底面面积，
为高

球的表面积，体积公式

，

其中
为球的半径



第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
（
是虚数单位）化简的结果是

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，则
＝

A．
B．

C．
D．

3．已知两条直线
和平面
，且
在
内，
在
外，则“
∥
”是“
∥
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知等差数列
中，
，则数列
的前17项和
＝

A．102 B．51

C．48 D．36

5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的
的值是

A．
B．

C．
D．

6．开学不久，学校从某班的学生中随机抽取25名学生进行学情调查，经过一段时间再次从该班的学生中随机抽取15名学生进行健康状况调查，发现有5名学生上次被抽查过，据此估计该班的学生人数为

A．75 B．65 C．60 D．50

7．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是

A．
B．

C．
D．

8．设变量
满足约束条件
目标函数
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9．定义在
上的偶函数
满足

，且
，则
＝

A．
B．
C．
D．

10．已知方程
（
为实常数）有两个不等实根，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

11．在平面直角坐标系中，定义
为两点
，
间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形；

②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；

③到
，
两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是
．

其中，正确的命题有

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

12．已知点
在圆
上，点
在双曲线
的右支上，
是双曲线的左焦点，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13．已知
，且
，则
＝ ．

14．直线
与圆
的位置关系为 ．

15．已知向量
与
的夹角为30°，且
，则
的最小值是 ．

16．已知函数
，令
，当
，且
时，满足条件的所有
的值的和为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，点
在直线
上．

（1）求数列
的通项
；

（2）令
，试求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱
中，△
为等腰直角三角形，
，且
，
、
分别为
、
的中点．

（1）求证：
⊥平面
；

（2）当
时，求点
到平面
的距离．

19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，满足
的点
组成的平面区域（或集合）记为
，现从
中随机取点
．

（1）设
，
，求
的概率；

（2）设
，若直线
被圆
截得的弦长为
，求
的概率．

20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为
，
是焦点．过点
的直线与抛物线交于
，
两点，直线
，
分别交抛物线于点
，
．

（1）求抛物线的方程及
的值；

（2）记直线
，
的斜率分别为
，
，证明：
为定值．

21．（本小题满分12分）已知函数
，
，其中
且
．

（1）判断函数
的单调性；

（2）设函数
当
时，若对于任意的
，总存在唯一的
，使得
成立，试求
的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】

如图4，已知
是圆
的两条平行弦，过点
引圆
的切线
与
的延长线交于点
，
为
上的一点，弦
分别与
交于点
．

（1）求证：
；

（2）若
，
，求
的长．

23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】

已知椭圆
的极坐标方程为
，点
，
为其左右焦点．以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（
为参数，
）．

（1）求直线
的普通方程和椭圆
的直角坐标方程；

（2）求点
，
到直线
的距离之和．

24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】

已知函数
．

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若函数
的值域为
，求实数
的取值范围．

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

B

B

B

A

D

C

D

C

B

C



【解析】

4．
，
，
．故选B．

5．依题意，知

……，

. 故选B．

6．设该班学生人数为
，依题意知
，
，故选A．

7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥
，

其中
，由俯视图可知，

，

，故选D．

8．
，

用线性规划，可求得
的范围是
，所以
．故选C．

9．
，故
为周期函数，周期
，

．故选D．

10．
，

令
，直线
过定点
，

设直线
与
的切点为
，由于
，

所以切线斜率
，

当
时，直线
与
的图象有2个交点．故选C.

11．设到原点的“折线距离”为1的点为
，则
，

其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误；

设到
两点的“折线距离”相等的点为
，

则
，

从而
，所以③正确．故选B．

12．设双曲线
的右焦点为
，则
，由双曲线定义知

，
，

当
共线时，
，

．故选C.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号

13

14

15

16



答案



相切

3

54



【解析】

15．如图3所示，点C的轨迹为射线
（不含端点A），

当
时，
．

16．

，
，
，
，

所以，
值组成的集合为
，
．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为点
在直线
上，所以
，
，

，化简得