云天化中学命制

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意。）

1.已知集合M=
，集合N=
，则

A．
B．

C．
D．

2．若复数
是实数，则的值为

A.
B. 3

C. 0 D.

3.若
，则

A.
B.

C.
D.

4.在区间
上任取2个数
，设向量
，则使
的概率是

A.
B.

C.
D.

5.若
的展开式中，各系数之和为，各二项式系数之和为，且

，则的值为

A.
B.

C.
D.

6.若双曲线
（
，
）的一条渐近线被圆
截得的弦长为
，则双曲线的离心率为

A.
B.

C.
D.

7.设
为等差数列，公差
，
为其前项和，若
，则
=

A.
B.

C.
D.

8．如果执行图中的程序框图，那么最后输出的正整数＝

A. 43 B. 44

C. 45 D. 46

9.非零向量
使得
成立的一个充分非必要条件是

A .
B.

C.
D.

10.函数
有两个不同的零点，则实数的取值范围是

A.
B.

C.
D.

11. 已知正方形
的边长为
，将
沿对角线
折起，使平面
平面
，得到如图所示的三棱锥
．若
为
边的中点，
，
分别为线段
，
上的动点（不包括端点），且
.设
，则三棱锥
的体积
的函数图象大致是

12.函数
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为

A. B.

C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题考生根据要求做答。（共90分）

二.填空题(本大题共4小题每小题5分共20分。把答案填在答题卡上)

13.函数
在点
处的切线与函数
围成的图形的面积等于 .

14.设
满足不等式组
，若
恒成立，则实数的最大值

是 .

15．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 .



16.如图，在
中，
，延长
到，

连接
，若
，且
，则
.

三、解答题（共70分，17-21题每题12分，22-24每题10分）

17.．已知数列
中，
，满足
。

(1)求证：数列
为等差数列;

(2)求数列
的前项和
.

18.某生产基地生产A,B两种电器元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于
为正品，小于
为次品．现随机抽取这两种元件各
件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标













元件A













元件B













（1）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；

（2）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，记
为生产

1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望.

19.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且

（1）证明：无论
取何值，总有AM⊥PN；

（2）当
时，求直线PN与平面ABC所成角的正切值.

20.已知函数
（
，
）的图象恒过定点
，椭圆
：

（
）的左，右焦点分别为
，
，直线
经过点
且与⊙
：
相切．

（1）求直线
的方程；

（2）若直线
经过点
并与椭圆
在轴上方的交点为，且
，求
内切圆的方程．

21.已知函数
．

（1）当
时，如果函数
仅有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当
时，试比较
与1的大小；

（3）求证：

．

请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．如图，，，
，四点共圆，
与
的延长线交于点，点在
的延长线上．

（1）若
，
，求
的值；

（2）若
∥
，求证：线段
，
，
成等比数列．

23.在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）。

若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
（其中为常数）

（1）当
时，曲线
与曲线
有两个交点
.求
的值;

（2）若曲线
与曲线
只有一个公共点，求的取值范围.

24.已知函数
；

解不等式
；

若对任意实数，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

2013年昭通市高中毕业生复习统一检测

理科数学 解答

①

②

①-②得
……………10分

故
…………….12分

18（1）解：元件A为正品的概率约为
． ……………2分

元件B为正品的概率约为
． ……………4分

（2）解：（ⅰ）随机变量
的所有取值为
． ……………5分

……………9分

所以，随机变量
的分布列为

X

90

45

30





 P











 ……………11分

……………12分

19法一：（1）证明：在三棱柱中，

,而

.故

且
……………3分

设
为
的中点、为
的中点。连接
,
.

且

,

，

又
,
,
,

故无论
取何值，总有
……………6分

（2）由于

设是

,故

法二 以A为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系

则A1（0，0，1），

B1（1，0，1）， M（0，1，
），N（
，0）

，
，

……………4分

（1）∵
，∴

∴无论
取何值，
……………6分

（2）
时，
, ……………8分

而面

设为
所成角，

则
，
……………10分

所以直线与
与平面
所成角的正切值为. ………………12分

20解：（1）易知定点
，⊙
的圆心为
，半径
．

①当
轴时，
的方程为
，易知
和⊙
相切．……………2分

②当
与轴不垂直时，设
的方程为
，即
，

圆心
到
的距离为
．

由
和⊙
相切，得
，解得
．

于是
的方程为
．

综上，得直线
的方程为
，或
． ……………4分

（2）设
，
，则由
，得
．

又由直线
的斜率为
，得
，
． ……………6分

于是
．

有
，
是等腰三角形，点是椭圆的上顶点．

易知
． ……………8分

于是
内切圆的圆心在线段
上．设
，内切圆半径为．则
，

由点到直线
的距离
，解得
． ……………10分

故
内切圆的方程为
． ……………12分

21解：（1）当
时，
，定义域是
，

， ……………1分

令
，得
或
．

当