2013年八闽一中协作校内部模拟卷理科数学

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．

已知集合
，
，则
=（ ）．A．
B．
C．
，或
D．
，或

在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．

已知数列
的前
项和
，则
等于（ ）．A．
B．
C．
D．
．

某几何体的三视图如图所示，其中正视图由直径为2的半圆和等边三角形构成，则该几何体的体积为（ ）．A．
B．

C．
D．
．

已知
为常数，则使得
成立的一个充分而不必要条件是A．
B．
C．
D．
．

已知
为坐标原点，直线
与圆
分别交于
两点．若
，则实数
的值为（ ）．A．1 B．
C．
D．
．

若抛物线
上一点
到准线的距离等于它到顶点的距离，则点
到
轴的距离为A．
B．
C．
D．
．

函数
的图象和函数
的图象的交点个数是（ ）．A.
B.
C.
D.
．

已知不等式
对任意正数
、
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）．A．
B．
C．
D．
．

对于函数
，如果存在区间

，当定义域是
时，
的值域也是
，则称
在
上是“和谐函数”，且
为该函数的“和谐区间”．现有以下命题：①
在
是“和谐函数”；②恰有两个不同的正数
使
在
是“和谐函数”；③
对任意的
都存在“和谐区间”；④由方程
确定的函数
必存在“和谐区间”．其中正确的命题的个数是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4．

第Ⅱ卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

已知
，
分别是平面内互相垂直的两个单位向量，设向量
与
，
的夹角分别为
，
，则
的值等于________．．

已知程序框图如图所示，执行相应程序，输出
的值为1，则输入的整数
的值等于_____________．


已知实数
，
满足
则目标函数

的最小值等于 ．．

展开式中不含
项的系数的和为_______．．

已知命题：在平面直角坐标系
中，
的顶点
和
，顶点B在椭圆
上，则

（其中
为椭圆的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是 ．．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（本小题满分13分）若直线
是函数
的图象的一条切线，并且切点横坐标依次成公差为
的等差数列.

（Ⅰ）求
和
的值；

（Ⅱ）在
中，
分别是
的对边．若
是函数
图象的一个对称中心，且
，求
的最大值．

（本小题满分13分）某校设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从
道备选题中一次性随机抽取
道题，并独立完成所抽取的
道题. 规定：至少正确完成其中
道题的便可通过该学科的能力考查. 已知
道备选题中考生甲能正确完成其中
道题，另
道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为
，且每道题正确完成与否互不影响.（Ⅰ）求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率；（Ⅱ）记所抽取的
道题中，考生甲能正确完成的题数为
，写出
的概率分布，并求E
及D
；（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平．

（本小题满分13分）如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
是棱
的中点，
是
的延长线与
的延长线的交点．（Ⅰ）求证：
平面
；（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值； （Ⅲ）在直线
上是否存在一点
，使得
平面
，若存在，求出
点坐标，若不存在请说明理由．

如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
的离心率为
，焦距为
，点A，B分别是椭圆
的右顶点和上顶点，点D是线段AB上的一动点，点C是椭圆
上不与A，B重合的一动点．（Ⅰ）求椭圆
的方程和△CAB的面积的最大值；（Ⅱ）若满足：
（
）， 求
的取值范围．

若斜率为
的两条平行直线
，
与曲线
相切并至少有两个切点，且曲线
上的所有点都在
，
之间（也可在直线
，
上），则把
，
称为曲线
的“夹线”，把
，
间的距离称为曲线
在“
方向上的宽度”，记
为
已知函数
.

（Ⅰ）若点P横坐标为0，求
图象在点P处的切线方程；

（Ⅱ）试判断
和
是否是
的“夹线”，若是，求
；若不是，请说明理由；

（Ⅲ）求证：函数
的图象不存在“夹线”.

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分 14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． (本小题满分21分，有（1）、（2）、（3）三个小题，每题7分，)（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵

，其中
，若点
在矩阵
的变换下得到点
．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求矩阵
的特征值及其对应的特征向量．

（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴．已知点
的直角坐标为
，点
的极坐标为
．若直线
过点
，且倾斜角为
，圆
以
为圆心，半径为
．（Ⅰ）求直线
的参数方程和圆
的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线
和圆
的位置关系．

（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知实数
满足
．（Ⅰ）求
的取值范围；（Ⅱ）若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围．)

2013年八闽一中协作校内部模拟卷

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

5. 保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式：

样本数据x1，x2，… ，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．

已知集合
，
，则
=（ ）．A．
B．
C．
，或
D．
，或
解析：
，
=
，选A．

在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析：
，所以
，对应的点在第一象限，选A．

已知数列
的前
项和
，则
等于（ ）．A．
B．
C．
D．
解析：
，选D．

某几何体的三视图如图所示，其中正视图由直径为2的半圆和等边三角形构成，则该几何体的体积为（ ）．A．
B．
C．
D．

解析：由三视图知，该几何体由半球和正四棱锥组成，其中正四棱锥底面边长为
，高为
，所以该几何体体积为
，选C．

已知
为常数，则使得
成立的一个充分而不必要条件是（ ）．A．
B．
C．
D．
解析：解
得
，可知使得
成立的一个充分而不必要条件是
，选C．

已知
为坐标原点，直线
与圆
分别交于
两点．若
，则实数
的值为（ ）．A．1 B．
C．
D．
解析：方法1，设
，将直线方程代入圆的方程得
，则
，

，即
，即
，选D．方法2，
，即
，问题等价于圆心到直线的距离等于半径的一半，即
，故
，选D．