2013厦门双十中学高三数学（理）热身试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

1．已知集合
则
等于

A．
B．
C．
D．

2.等比数列
中，
，则“
”是“
”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



3．已知两不共线向量
，则下列说法错误的是

A.
B.
C.
与
的夹角等于
D.
与
在
方
向上的投影相等

4．已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为

A．
B．
C．
或
　　D.
或7

5.若右边的程序框图输出的
是
，则条件①可为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有

A.
种 B.
种 C.
种 D.
种

7．下列关于函数
的描述正确的是

A．在
上递增 B．在
上最小值为0 C. 周期为
D. 在
上递减

8．如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的

等腰直角三角形，则该几何体的体积是

A．
 B.
 C.
 D.


9. 定义在 R上的函数
是减函数，且函数
的图象关于点
成中心对称，若
满足不等式组
，则当
时，
的取值范围是

A．
(B)
(C)
D．

10.如图，半径为2的⊙
与直线
相切于点
，射线
从
出发绕点
逆时针方向旋转到
，旋转过程中，
交⊙
于点
，设
为
，弓 形
的面积为
，那么
的图象大致是

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．

11．复数
在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数
= .

12. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性最高为 ．

13.如图，圆
内的正弦曲线
与
轴围成的区域记为

(阴影部分)，随机往圆
内投一个点
，则点
落在区域
内的概率是 ．

14.对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一 步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角 的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积
；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第?步,所得图形的面积
.

若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则

(I)当n = 1时,所得几何体的体积V1 =______. (II)到第n步时，所得几何体的体积Vn =______.

15．已知正方形
的中心在原点，四个顶点都在函数
图象上．若正方形
唯一确定，则实数
的值为 ．

16.(本题满分13分)

某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

幸福度



7

3

0



















8

6

6

6

6

7

7

8

8

9

9



9

7

6

5

5

















（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”。求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记
表示“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望。

17.(本题满分13分)

在
中，
分别是角A、B、C的对边，且满足：
．

（I）求角C；

（II）求函数
的单调减区间和取值范围．

18.(本题满分13分)

如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1，侧面BCC1B1
底面ABC.（I）若M、N分别为AB、A1C的中点，求证：MN//平面BCC1B1；（II）若三棱柱ABC —A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°.问在线段
上是否存在一点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为
，若存在，求BP的长度，若不存在，说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知函数
在点（0,1）处的切线L为

（Ⅰ）判断函数
在
上的单调性；

（Ⅱ）求证：
对任意的
都成立；

（Ⅲ）求证：已知
，
，求证：

21.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知
作用后变换为曲线C（如图2）。

（I）求矩阵A； （II）若矩阵
,求
的逆矩阵.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．点A,B的极坐标分别为
，
，

曲线C的参数方程为
.

(Ⅰ)求
的面积； （Ⅱ）若直线AB与曲线C的交点.

2013厦门双十中学高三数学（理）热身试参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



D

B

C

C

B

B

D

A

D

D



一。选择题

二、填空题：2； 0.05；
；

16.解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75
……………2分

（2）设
表示所取3人中有
个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件
，则 分

17.（I）解：
-------2分

处理1：余弦定理：
----4分

处理2：正弦定理：

又

（II）
----6分

=
=
=
---8分

又

值域为
----------------------------10分

令
------------------12分

又
y在
单调递减.-13分

18. （I）思路点拨1：连接
,证明：
;------------------4分

思路点拨2：取BC中点
,取
中点
,证明：
是平行四边形

思路点拨3：取AC中点K，连接MK,NK，证明平面MKN//平面BCC1B1

（II）过
作BC的垂线,垂足为O，
侧面BCC1B1
底面ABC

所以
平面ABC，------------------------------------6分

所以
就是侧棱BB1与底面ABC所成的角，即
=60°--7分

又AB=AC，所以
,

如图，以O为原点，BC所在直线为X轴，OA为y轴建立空间直角坐标系

则
-------------8分

-------------9分

解1：
，设平面
的法向量为

则
，令
，则y=-1,x=-3,所以
---11分

又平面ABC的法向量为（0,0,1）， 设平面使得平面
与底面ABC的所成角为

所以
，又
在
上单调递减，

所以在
上不存在点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为
-----------------------13分

解2：设P在
上，所以
…

20.（Ⅰ）解：
，所以
在
上单调递增；--2分

（Ⅱ）
，所以L：
------------------4分

要证：
有三条可能的路径

（1）把n当成变量，x当成常数

（2）把n当成常数，把x当成变量，构造函数

--------------------------------5分

①n=1时，
满足题意------------------------------------6分

②
时，由（Ⅰ）知
在
上单调递增，

所以
在（-1,0）上单调递减；
上单调递增

所以
，即
对任意的
都成立-------8分

（Ⅲ）要证：
，

只需证：

只需证：
，

只需证：
， 只需证：

又
成立，

所以
成立.-----------------------------------------------------14分

证2：数学归纳法

21.（1）（Ⅰ）依题意可知

所以
--------3分

解2：依题意可知A对应的变换为伸缩变换
，所以

（Ⅱ）
-------4分

，

------7分

（2） (Ⅰ)解：
-----------------------------------------------2分

（Ⅱ）在直角坐标系中
，所以AB：
----3分

直线C：
-----------------5分

联立得：
，解得：
（舍负），得交点
----7分

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