2013届高三文科数学模拟考试卷-2013.05.31

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
的对应点所在象限是 （ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．设集合
＝｛x|x
A,且x
B｝,若A＝｛1，3，5，7｝，B＝｛2，3，5｝，则集合M的子集个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知向量
与
共线，且
，
，则 ( )

A．
B.

C.
D.

4．已知双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则实数
的值是

A．
B．
C．
D．

5．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 （ ）

A．9 B．81 C．729 D．6561

6. 如图，BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点，且
，

若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则
的值是（ ）

A.
B.
C.
D. 不确定

7. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是（ ）

A．

B．

C．

D.4

8．定义运算
，则函数
具有如下性质 （ ）

A．最大值为
B, 最小值为

C. 在区间
上单调递减 D. 在区间
上单调递增

9. 已知
为
的三个内角
的对边，向量
．若向量
与向量
的夹角是
，且
，则
的大小为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 已知
满足约束条件
则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知函数
在区间
上是减函数，则
的最小值是（ ）

A．0　　　　 B ．1 C ．2 D．3

12．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（ ）

A．甲同学：均值为2，中位数为2 B．乙同学：均值为2，方差小于1

C．丙同学：中位数为2，众数为2 D．丁同学：众数为2，方差大于1

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.

13．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（-1）=f（3），则f（2）的值为

14．在区间
任取一个实数，则该数是不等式
解的概率为

15．直线
与圆
相切，且在两坐标轴上截距相等，则满足条件的直线
共有________条.

16．对于实数
，若整数
满足
，则称
为离
最近的整数，记为
，
，给出下列四个命题： ①
； ②函数
的值域是[0，
]； ③函数
的图像关于直线
(k∈Z)对称；

④函数
是周期函数，最小正周期是1；其中真命题是　__________　．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知函数
的图象的一部分如下图所示.

（Ⅰ）求函数
的解析式;

（Ⅱ）当
时,求函数
的

最大值与最小值及相应的
的值.

18．（本小题满分12分）某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查10件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：
）：

甲：13 15 14 14 9 14 21 9 10 11

乙：10 14 9 12 15 14 11 19 22 16

（Ⅰ）画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数；

（Ⅱ）计算甲种商品重量误差的样本方差；

（Ⅲ）现从重量误差不低于15的乙种商品中随机抽取两件，求重量误差为19的商品被抽中的概率．

19．(本小题满分12分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，

且∠DAB＝60°，
，F为棱BB1的中点.

(1)求证：
直线BD∥平面AFC1；

(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；．

（3）求三棱锥A1－AC1F的体积.

20．（本小题满分12分）在等差数列
中，
，
，记数列
的前
项和为
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）是否存在正整数
、
，且
，使得
、
、
成等比数列？若存在，求出所有符合条件的
、
的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）已知椭圆C:
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线
相切.A、B是椭圆的左右顶点，直线l 过B点且与x轴垂直，如图.

(I)求椭圆的标准方程；

(II)设G是椭圆上异于A、B的任意一点，GH丄x轴，H为垂足，延长HG到点Q 使得HG=GQ,连接AQ并延长交直线l于点M,点N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论.

22.（本小题14分）设函数
，
.

当
时，求曲线
在
处的切线方程；

如果存在
，使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；

如果对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围.

2013届高三文科数学模拟考试卷-2013.05.31

参考答案：

一、BDCAC CAACD CD

1．
.故选B.

3解析：
，
，因为向量
与
共线，

所以，
得
。

5．
，故选C

6． 解析：法一：向量分解法

法二： 特殊法：让DE与BC重合，则有

7．由三视图可知，几何体是一个三棱锥，从俯视图得，底面积
，

从正视图得，高
，故选A

8解析：图象如图，可得

9．解析：

由
得，

故

10．D 解析：
，T为点
到区域内的点的距离的最小值的平方，画区域知，为到点
的距离，
，故选D。

二、13.答案：6 解析: 因为f（-1）=f（3），
，

14．答案
，在区间
上，满足条件
的实数集合为
，故

15答案：4 条：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为
，也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同.

16．答案 ②③④

解析：①
故错，②
，故函数
的值域是[0，
]，

③④画图可知，也可检验，如
等

17．17. 解:(1)由图像知A=2, ---------1分 =4 ( T=8= , ∴( =, -------------3分

得f(x)=2sin(x+( ).

由对应点得当x=1时, ×1+( = ( ( =.------------------------------------------------4分

∴f(x)=2sin(x+ );------------------------------------------------------------------------------5分

(2) y=2 sin(x+ )+2 sin[(x+2)+ ]=2 sin(x+ )+2cos(x+ )

=2sin(x+)=2cosx, ------------------------------------------------------------8分

∵x ( [－6,－], ∴x ( [－,－] ,

∴当x=－,即x=－时,y的最大值为;-----------------------------------------------10分

当x=－(,即x=－4时,y的最小值－2.------------------------------------------------12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

茎叶图如右图． 甲 乙

9 9 0 9

5 4 4 4 3 1 0 1 0 1 2 4 4 5 6 9

1 2 2

甲，乙两种商品重量误差的中位数分别为13．5，14． 4分

（Ⅱ）
．

∴ 甲种商品重量误差的样本方差为

＝11．6 8分

（Ⅲ）设重量误差为19的乙种商品被抽中的事件为 A．

从重量误差不低于15的乙种商品中随机抽取两件共有（15，16），（15，19），（15，22），（16，19），（16，22），（19，22）6个基本事件，其中事件A含有3个基本事件．

∴
． 12分

19(1)证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B为CN的中点．设M是线段AC1的中点，连结MF，则MF∥AN. …………………2分

∵B为CN的中点，四边形ABCD是菱形，∴AD∥NB且AD=NB,

四边形ANCD是平行四边形，AN∥BD， …………………………3分

∴MF∥BD又∵MF?平面ABCD，
BD?平面ABCD，

∴BD∥平面AFC1； …………………………4分

(
2)证明：(如上图)连结BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，可知：A1A⊥平面ABCD，

又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A?平面ACC1A1，

∴BD⊥平面ACC1A1. ………………………………7分

而NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.

又∵NA?平面AFC1 ∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.[来源:Z ………………9分xx+k.Com]

(3)解：由(2)知BD⊥平面ACC1A1，MF∥BD, ∴MF⊥平面AC1A1. …………10分

∵∠DAB＝60°，AD＝AA1=a,

∴三棱锥A1－AC1F的体积
…………12分

20.解：（1）设等差数列
的公差为
，

因为
即
………………………………………………………………2分

解得
………………………………………………………………………………………………3分

所以
．

所以数列
的通项公式为

． …………………………………………………4分

（2）因为
， ……………………………………………5分

所以数列
的前
项和

．………………………………………………………………………8分

假设存在正整数
、
，且
，使得
、
、
成等比数列，

则
．……………………………………………………………………………………………8分

即
．………………………………………………………………………………9分

所以
． 因为
，所以
．

即
．因为
，所以
．

因为
，所以
．……………………………………………………………………………11分

此时
．

所以存在满足题意的正整数
、
，且只有一组解，即
，
．…………………12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题可得：e=
．

∵ 以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+
=0相切，

∴
=b，解得b=1．

再由 a2=b2+c2，可解得：a=2．

∴ 椭圆的标准方程：
．……………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A(-2，0)，B(2，0)，直线l的方程为：