江西省吉安一中2012-2013学年度下学期高三期中考试

数学试卷（文科）

第I卷（选择题、填空题共75分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。）

[ ]1. 已知z是复数，i是虚数单位，（
）z在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么z=

A.
B.
C.
D.

[ ]2. 已知不等式
的解集为（-1，2），m是a和b的等比中项，那么

A. 3 B. -3 C. -1 D. 1

[ ]3. 以双曲线
的离心率为首项，以函数
的零点为公比的等比数列的前n项的和

A.
B.

C.
D.

[ ]4. 已知几何体M的正视图是一个面积为
的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为

A.
和
B.
和

C.
和
D.
和

[ ]5. 设函数
，
，则
是

A. 最小正周期为
的奇函数

B. 最小正周期为
的偶函数

C. 最小正周期为
的奇函数

D. 最小正周期为
的偶函数

[ ]6. 如果数列
，
，
，…，
，…是首项为1，公比为
的等比数列，则
等于

A.
B.

C.
D.

[ ]7. 在同一坐标系中画出函数
，
，
的图象，可能正确的是

[ ]8. 如图是计算函数

在①、②、③处分别应填入的是

A.

B.

C.

D.

[ ]9. 过双曲线
（a>0,b>0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

[ ]10. 使得函数
的值域为[a,b](a

A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）

11. 已知函数x,y满足
则
的最大值是___________。

12.
表示函数
的导数，在区间
上，随机取值a，
的概率为__________。

13. 已知
时，
，若
、
，
，那么
、
、
的大小关系为____________。

14. 已知函数
是（
，
）上的奇函数，且
的图象关于直线
对称，当
时，
，则
_____________。

15. 已知
中，
，
，
的对边分别为a、b、c，若
，
，则
的周长的取值范围是_______________。

第II卷（共75分）

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）

在
中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知

（I）求证：
成等差数列；

（II）若
，
的最大内角为
，求
的面积

17. （本小题满分12分）

从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高，据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165），…，第八组[190，195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分。其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。

（1）求第六组、第七组的频率，并估计高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（2）学校决定让这五十人在运动会上组成一个高旗队，在这五十人中要选身高在185cm以上（含185cm）的两人作为队长，求这两人在同一组的概率。

18. （本小题满分12分）

已知正项数列
满足
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和
。

19. （本小题满分12分）

如下图所示，在正三棱柱
中。
，D是BC上的一点，且
，

（I）求证：
平面
；

（II）在棱
上是否存在一点P，使直线
平面
？若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由。

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
过点（
，
），离心率
，若点M
在椭圆C上，则点
称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A，B两点，

若点A，B的“椭点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。

（I）求椭圆C的方程；

（II）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究
的面积与
的面积的大小关系，并证明。

21. （本小题满分14分）

已知函数

（I）若
，讨论函数的单调性；

（II）若函数
满足
，且在定义域内
恒成立，求实数b的取值范围；

（III）当
时，试比较
与
的大小。

【试题答案】

一、选择题

1. A 2. D 3. B 4. C 5. B 6. D

7. D 8. B 9. C 10. B

二、填空题

11. -1 12.
13.

14. 1 15.

四、解答题（75分）

16. （12分）（Ⅰ）由正弦定理化为

即

即
，故a,c,b为等差数列 6分

（Ⅱ）
，且a为最大边

得

10分

故
12分

17. （12分）

（1）第六组
（6分）

第七组

估计人数为180人

（2）
（6分）

18. （12分）

（1）整理得
4分

又
得
6分

（2）
8分

12分

19. （12分）

（Ⅰ）连接
交
于E点，

可证：
得
平面
6分

（Ⅱ）P为
的中点

20. （13分）

（Ⅰ）由已知
得

，方程为
3分

（Ⅱ）设

，则P（
）

（1）当直线l的斜率存在时，设方程为

由
联立得

①

由以PQ为直径的圆过原点O可得

整理得
②

由①代入②得
6分

点O到直线AB的距离

10分

（2）当直线l的斜率不存在时，设直线l：
（
）

联立椭圆方程得

代入
得

综上
的面积为定值

又
的面积

所以二者相等 13分

21. （14分）

（Ⅰ）

由
得
在（0，1）↗(1,+
)↘ 4分

（Ⅱ）由原式得

令
可得
在（0，1]↘[1，+
）↗

即
9分

（Ⅲ）由（2）知
在（0，1）↘

即

又

14分