江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷

数学Ⅰ

参考公式：

（1）样本数据
的方差
，其中
．

（2）直棱柱的侧面积
，其中
为底面周长，
为高．

（3）棱柱的体积
，其中
为底面积，
为高．

一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1. 设A,B是两个非空的有限集合，全集U=A∪B,且U中含有m个元素.若
中含有n个元素，则A∩B中所含有元素的个数为 ▲ .m-n

2. 若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数，则θ的值为____▲___.

3. 已知角α,β,γ,构成公差为的等差数列.若cosβ=-，则cosα+cosβ=__▲ _.

4. 已知集合A={2,5},在A中可重复的依次取出三个数a,b,c，则“以a,b,c为边恰好构成三角形”的概率是 ▲ .

5. 已知抛物线y2=2px(p>0)，过定点（p,0）作两条互相垂直的直线l1,l2,l1与抛物线交于P、Q两点，l2与抛物线交于M、N两点，l1斜率为k.某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为（+p,），请你写出弦MN的中点坐标： ▲ .

6.右边给出的是一个与定义在R上f(x)=x3+sinx相关的算法语言，一个公差不为零的等差数列{an},使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0,请写出一个符合条件的数列{an}的通项公式 ▲ .an=n-5.5等

7. 巳知函数f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1,x2，且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为____▲______.

8. 设向量=(0,1), =(1,1)，O为坐标原点，动点P(x,y)满足，则点(x+y,y)构成的图形的面积为 ▲ .2

9. 已知直线m,n，平面α,β，且m∥α,n⊥β，给出下列四个命题：①若α∥β，则m⊥n;

②若m⊥n ，则α∥β；③若α⊥β，则m⊥n ④若m∥n，则α⊥β，其中正确命题的序号为 ▲ .①④

10. 已知函数f(x)=4|a|x-2a+1．若命题：“?x0∈(0,1)，使f(x0)=0”是真命题，则实数a的取值范围为 ▲ ．

11. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是 ▲ .

12. 已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足=ax，且f′(x)g(x)

13. 已知M是△ABC内的一点（不含边界），且·=2，∠BAC=300，若△MBC, △MCA, △MAB,的面积分别为x,y,z,则+的最小值是 .9

14.不经过坐标原点O的直线l与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，若直线PQ的斜率是直线OP和OQ斜率的等比中项，则△POQ面积S的取值范围为 .（0，）

二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分14分）

命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0（其中a>0），命题q:实数x满足

①若a=1，且
为真，求实数
的取值范围；

②若
是

的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

解：（1）p真：1

q真：2

为真时2

（2）由（1）知p
：
，则
：
或
，……8分

q：
，则
：
或
，……10分

是
的充分不必要条件，则
，且
，

∴
解得
，故实数a的取值范围是
．……14分

16. （本小题满分14分）

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，
，∠ABC=900°,平面PAB
平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.

（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC;

（Ⅱ）求证：AB
PE；

【答案】解：（Ⅰ）
D、E分别为AB、AC中点，

(DE//BC ．

DE(平面PBC，BC(平面PBC，

(DE//平面PBC ．………6分

（Ⅱ）连结PD，
PA=PB，
PD
AB． ………….8分

，BC
AB，
DE
AB．...............10分

又

，
AB
平面PDE．............12分

PE(平面PDE，
AB
PE ． ...................14分

17. （本小题满分14分）

随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本
市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建
筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图.

（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）

（下列数据提供参考：
20°＝0.3420，
20°＝0.9397
，
20°＝0.3640）

（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图所示，设∠ABC=θ，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，长为4.5米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？

解：(1)在△ABE中，∠ABE=90°，∠BAE=20°,∴tan∠BAE=
，又AB=10，∴BE=AB?tan∠BAE=10tan20°≈3.6m，∵BC=0.6∴CE=BE-BC=3m,在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD=∠BAE=20°,∴cos∠ECD=
,∴CD=CE?cos∠ECD=3cos2
0°≈3×0.94≈2.8m．故答案为2.8m．…………5分

（2）延长
与直角走廊的边相交于
，如下图.

，其中
.

容易得到
，
.

又
，

于是

，

其中
.………8分[来源:学|科|网][来源:学科网ZXXK]

设
，则
，于是
.

又
，

因此
． …………11分

因为
，又
，所以
恒成立，

因此函数
在
是减函数，

所以
，

故能顺利通过此直角拐弯车道 …………14分

18. （本小题满分16分）

如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．

①求椭圆C的方程；

②是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F2，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）设F2（c，0），

∵直线l：x=﹣
将线段F1F2
分成两段，其长度之比为1：3，∴
，解得c=1．

∵离心率为e=
，∴a=
，∴椭圆C的方程为
．……4分

（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x=﹣
，

此时P（﹣
，0），Q（
，0），
=﹣1，不合题意．……6分

当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M（﹣
，m），m≠0，

设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），

由
，得
，

则﹣1+4mk=0，故k=
，

此时，直线PQ的斜率为k1=﹣4m，

PQ的直线方程为y﹣m=﹣4m（x+
），即y=﹣4mx﹣m．……8分

联立
，消去y，整理，得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．

∴
，x1x2=
，……10分

由题意
=0，

∴
=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2

=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）

=（1+1
6m2）x1x2+（4m2﹣1）（x1+x2）+1+m2

=
+
+1+m2=
=0，

∴m=
．∵M在椭圆内，∴
，∴m=
符合条件．……13分

综上所述,存在两点M符合条件,坐标为M（﹣
，﹣
）和M（﹣
，
）．……14分



19. （本小题满分16分）

已知三个互不相等的正数a,b,c成等比数列，公比为q．在a,b之间和b,c之间共插入n个数，使这n+3个数构成等差数列．

①若a=1,在b,c之间插入一个数，求q的值；

②设a

③若插入的n个数中，有s个位于a,b之间，t个位于b,c之间，试比较s与t的大小．

解：（1）因为
，
，
是互不相等的正数，所以
且
．

由已知，
，
，
是首项为，公比为
的等比数列，则
，
，…2分

当插入的一个数位于
，
之间， 设由
个数构成的等差数列的公差为
，则
，消去
得
，

因为
，所以
． ………………4分

（2）设所构成的等差数列的公差为
，由题意，
，共插入
个数．

若在
，
之间插入个数，在
，
之间插入
个数，则
，

于是
，
，
，解得
．………………6分

若在
，
之间插入
个数，在
，
之间插入个数，则
，

于是
，
解得
（不合题意，舍去）． ………………8分

若
，
之间和
，
之间各插入
个数，则
，
，

解得
（不合题意，舍去） ………………10分

综上，
，
之间插入个数，在
，
之间插入
个数．

（3）设所构成的等差数列的公差为
，

由题意，
，
，又
，
，

所以
，即
，因为
，所以
．

所以，当
，即
时，
；当
，即
时，
．……14分

20. （本小题满分16分）

设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.

(1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；

(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立．

注：e为自然对数的底数．

从而，当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，即f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，a)内单调递减，在(a，＋∞)内单调递增．

所以要使f(x)≤4e2对x∈(1,3e]恒成立，只要

成立．

由h(x0)＝2lnx0＋1－＝0，知

a＝2x0lnx0＋x0.(3)

将(3)代入(1)得4xln3x0≤4e2.又x0>1，注意到函数x2ln3x在[1，＋∞)内单调递增，故1

由(2)解得，3e－≤a≤3e＋，

所以3e－≤a≤3e.

综上，a的取值范围3e－≤a≤3e.

(第一问4分，第二问12分)

数学Ⅱ（附加题）

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．

（1）求
证：E是AB的中点；

（2）求线段BF的长．

　B．选修4-2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

已知矩阵
，
.

（Ⅰ）求矩阵
A的逆矩阵A-1；[来源:Zxxk.Com]

（Ⅱ）求直线x+y-1=0在矩阵A-1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程.

解：（1）
……4分

(2)
……7分

所得曲线的方程为x-2y-1=0……10分

C．选修4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

已知圆锥曲线(θ是参数）和定点A(0,)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．

（1）求经过点F2且垂直地于直线AF
1的直线l的参数方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极