北京西城区

2013年高三二模

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集
，集合
，
，那么CU(A∩B)

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
的对应点是
，
的对应点是
，则

A． B． C．
D．

3．在极坐标系中，圆心为
，且过极点的圆的方程是

A．
B．

C．
D．

4．如图所示的程序框图表示求算式“
” 之值，

则判断框内可以填入

A．

B．

C．

D．

5．设
，
，
，则

A．

B．

C．

D．

6．对于直线，和平面，
，使
成立的一个充分条件是

A．
，∥ B．∥
，

C．
，
，
D．
，
，

7．已知正六边形
的边长是，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，其中
表示不超过实数的最大整数．若关于的方程
有三个不同的实根，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．右图是甲，乙两组各
名同学身高（单位：
）数据

的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为
和
，

则
______
． （填入：“”，“”，或“”）

10．
的展开式中
项的系数是______．（用数字作答）

11．在△
中，
，
，
，则
______；△
的面积是______．

12．如图，
是半圆
的直径，在
的延长线上，
与半圆
相切于点
，
．若
，
，则
______．

13．在等差数列
中，
，
，则
______；设
，则数列
的前项和
______．

14．已知正数
满足
，
，则的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

如图，在直角坐标系
中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且
．将角的终边按逆时针方向旋转
，交单位圆于点．记
．

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）分别过
作轴的垂线，垂足依次为
．记△

的面积为
，△
的面积为
．若
，求角的值．

16．（本小题满分13分）

某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．

（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

（Ⅱ）记
为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量
的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14分）

如图1，四棱锥
中，
底面
，面
是直角梯形，
为侧棱
上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）证明：
∥平面
；

（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使
与
所成角的余弦值为
？若存在，找到所有符合要求的点
，并求
的长；若不存在，说明理由．

18．（本小题满分13分）

如图，椭圆
的左顶点为，
是椭圆
上异于点的任意一点，点与点关于点
对称．

（Ⅰ）若点的坐标为
，求的值；

（Ⅱ）若椭圆
上存在点
，使得
，求的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值．

20．（本小题满分13分）

已知集合
是正整数
的一个排列
，函数

对于
，定义：
，
，称
为
的满意指数．排列
为排列
的生成列；排列
为排列
的母列．

（Ⅰ）当
时，写出排列
的生成列及排列
的母列；

（Ⅱ）证明：若
和
为
中两个不同排列，则它们的生成列也不同；

（Ⅲ）对于
中的排列
，定义变换：将排列
从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换将排列
变换为各项满意指数均为非负数的排列．