高三自评试题

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，
，则

A.
B.
C.
或
D.

2．复数
满足
，则复数
的实部与虚部之和为

A.
B.
C.
D.

3．“
”是“
”为真命题的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件　 D. 既不充分也不必要条件

4．执行如图所示的程序框图．若输出
， 则框图中①处可以填入

A.
B.
C.
D.

5．下列函数中，与函数
定义域相同的函数为

A．
B.
C.
D.

6．若
，且
，则

A．
B．
C．
D．

7．已知函数
，为了得到函数
的图象，只需要将
的图象

A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度

C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

8．已知
、
分别是双曲线
：

的左、右焦点，
为双曲线右支上的一点，
，且
，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

9．定义：
，在区域
内任取一点
，则
、
满足
的概率为

A.
B.
C.
D.

10．已知数列
是以
为公差的等差数列，
是其前
项和，若
是数列
中的唯一最小项，则数列
的首项
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

11．某几何体的三视图如图
所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是

A.
B.
C.
D.

12．设函数
在
内有定义,对于给定的实数
,定义函数
，设函数
=
,若对任意的
恒有
,则

A.
的最大值为
B.
的最小值为
C.
的最大值为
D.
的最小值为

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知两条直线
和
互相平行，则
等于 .



























14．某工厂的某种型号的机器的使用年限
和所支出的维修费用
(万元)有下表的统计资料：根据该表可得回归方程
，据此模型估计，该型号机器使用年限为
年的维修费用大约为 万元．

15．已知
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，有下列五个命题：

①若
，且
，则
；②若
，且
，则
；

③若
，且
，则
；④若
，且
，则
；

⑤若
，
，
，则
．则所有正确命题的序号是 .

16．一同学为研究函数
的性质，构造了如图所示的两个边长为
的正方形
和
点
是边
上的一动点，设
则
．请你参考这些信息，推知函数
的零点的个数是 ．

三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）求函数
在
上的单调递增区间；

（Ⅱ）设
的内角
的对应边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值．

18．（本小题满分12分）如图，在长方形
中，
，
，
为
的中点，

为
的中点.现在沿
将三角形
向上折起，在折起的图形中解答下列两问：

（Ⅰ）在线段
上是否存在一点
，使
∥面
？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；























（Ⅱ）若面
面
，求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分12分）

甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为
，乙、丙做对的概率分别为
和
(
＞
)，且三位学生是否做对相互独立.记
为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

(Ⅰ) 求
，
的值；

（Ⅱ) 记事件
{函数
在区间
上不单调}，求
；

（Ⅲ）令
，试计算
的值.

20．（本小题满分12分）

已知数列
满足
，
（
且
）．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
；

（Ⅱ）令
，记数列
的前
项和为
，

若
恒为一个与
无关的常数
，试求常数
和
.

21．（本小题满分13分）已知点
为椭圆
的右焦点，过点
、
的直线与圆
相切.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 过点
的直线交椭圆
于
、
两点，求证：
为定值.

22．（本小题满分13分）已知
，二次函数
，关于
的不等式
的解集为
，其中
为非零常数，设
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若存在一条与
轴垂直的直线和函数
的图象相切，且切点的横坐标
满足
，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）当实数
取何值时，函数
存在极值？并求出相应的极值点.

高三自评试题

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．

A D B BC A D B DC D A

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.
或
14.
15. ①②⑤ 16．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

……………………………………………3分

由
得：

所以，
在
上的单调递增区间为
，
………………………………6分

（Ⅱ）
，则

，
，
，
………………………8分

向量
与向量
共线，
，

由正弦定理得，
　 …………………………………………………………………10分　

由余弦定理得，
，即
　

………………………………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）线段
上存在一点
，且当
时，
∥面
………………………………1分

证明如下：

设
为
的中点，连结
，则
∥

又因为
，
为