吉林省实验中学

2013年高三年级下学期第二次模拟考试题

数学（文）试题

命题人 施丽娜 审题人 宋雪飞 赵君

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共6页。考试结束后将答题卡交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

2．使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

参考公式:线性回归方程的系数公式

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)
的值是

(A)
(B)
(C)
(D)

(2)若复数Z
，
是虚数单位）是纯虚数，则Z的值为

(A)2 (B)3 (C)
(D)

(3)已知程序框图如下，则输出的的值是

(A)
　　　 (B)　　　 (C)
　 (D)

(4)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

(A)
　　　 (B)
　

(C)
(D)

(5)在等差数列
中，
，则此数列的前10项的和

（A）10 （B）20 （C）40 （D）80

(6)已知向量
则
等于

（A）
（B）
（C）
　　 （D）

(7)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

(8)双曲线
的离心率为2，有一个焦点与抛物线
的焦点重合，则mn的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

(9)设
,变量和满足条件
,则的最小值是

（A） （B）
（C）
　　 （D）

(10)如右图所示，三棱锥
的高
分别在
和
上，且
，下面的四个图像大致描绘了三棱锥
的体积
与的变化关系，其中正确的是

(11)已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为

（A）3 （B）2 （C） （D）1

(12) 各项互不相等的有限正项数列
,集合
,集合
,则集合中的元素至多有

(Ａ)
个 (Ｂ)
个 (Ｃ)
个 (Ｄ)
个

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答。第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)设全集
,

，

，则

(14) 下边茎叶图表示的是甲、乙两人在
次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_____.

(15)已知
都是正实数， 函数
的图象过
点，则
的最小值是 .

(16) 已知数列
的前项和
，则

.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17) （本小题满分12分）

已知函数
，

（Ⅰ）求函数
的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）设
的内角
的对边分别
且
,
，若
求
的值．

(18) （本小题满分12分）

如图所示，
和
是边长为2的正三角形，且平面
平面
，
平面
，
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

(19) （本小题满分12分）

一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

学生

A1

A2

A3

A4

A5



数学（x分）

89

91

93

95

97



物理（y分）

87

89

89

92

93



 （Ⅰ）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；

（Ⅱ）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程
= bx+a．

（20）（本小题满分12分）

设椭圆C：
的左、右焦点分别为
，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足
，且
.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设D是过
三点的圆上的点，D到直线
的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆
的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点
作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点
，求实数m的取值范围．

(21)（本题满分12分）

已知函数
．a∈R

（Ⅰ）当a＝1时，求
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在
上无零点，求a的最小值.

请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

(22)（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2交于点G．

（Ⅰ）求证：∠EAG=∠EFG；

（Ⅱ）若⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，AC=10，AG切⊙O2于G，求线段AG的长．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：
（是参数）．

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线
的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且
，试求实数m值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
对一切实数x均成立，求m的取值范围．

参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

D

C

C

B

A

D

A

A

 C

A



二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13．{2} 14．2/5 15．
16.
(
)

三 解答题：

17. 解：（1）
……．3分

则
的最大值为0，
时取到;

最小正周期是
…………………6分

（2）
则

由正弦定理得
①……………………9分

由余弦定理得
即
②

由①②解得

…………………………12分

18. （Ⅰ）证明：取
的中点为，连结ＡＦ，ＥＦ，ＢＤ

∵△ＢＣＥ正三角形，∴ＥＦＢＣ，又平面ＡＢＣ平面ＢＣＥ，且交线为ＢＣ，∴ＥＦ⊥平面ＡＢＣ

，又ＡＤ⊥平面ＡＢＣ∴ＡＤ∥ＥＦ，∴
共面，又易知在正三角形ＡＢＣ中，ＡＦ⊥ＢＣ，

∴
平面
，又
平面

故
；．．．．．．．．．．6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ＥＦ／／ＡＤ 所以有

所以
，所以

即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分

19.解：（1）从
名学生中任取名学生的所有情况为:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共种情
况.………3分

其中至少有一人物理成绩高于
分的情况有：
、
、
、
、
、
、
共
种情况，

故上述抽取的
人中选人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于
分的概率
. ………………………5分

（2）散点图如右所示. ……………………6分

可求得：

=
=
，

=
=
， ……………………………………………8分

=
=40，

=0.75，

， ……………………………………………11分

故关于的线性回归方程是：

. ……………………………………………12分

20. （Ⅰ）连接
，因为
，
，所以
，

即
，故椭圆的离心率
．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（Ⅱ）由（1）知
得
于是
，
，

的外接圆圆心为
，半径
．．．．．．．．．．．．5分

到直线
的最大距离等于
，所以圆心到直线的距离为，

所以
，解得

所求椭圆方程为
. ．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知
，
：

代入消
得

因为
过点
，所以
恒成立

设
，
则
，

中点
．．．．．．．．．．．．．．．9分

当
时，
为长轴，中点为原点，则
．．．．．．．．．．．．．．．10分

当
时
中垂线方程
．

令
，

，
， 可得

综上可知实数的取值范围是
． ．．．．．．．．．．．．．．12分

21. 解：（I）当
…………2分

由
由

故
…………4分

（II）因为
上恒成立不可能，

故要使函数
上无零点，只要对任意的
恒成立，

即对
恒成立。 …………6分

令

则
…………8分

综上，若函数

…………12分

22．（1）证明 连接GD，因为四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，⊙O2，∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，

又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°．

即A，E，G，F四点共圆，∴∠EAG=∠EFG． ………………5分

（2）解 因为⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，

所以由垂径定理知FC=2
=8，又AC=10，

∴AF=2，∵AG切⊙O2于G，∴AG2=AF·AC

=2×10=20，AG=2
．………………10分

23.（I）曲线C的极坐标方程是
化为直角坐标方程为:

直线
的直角坐标方程为：
………………5分

（Ⅱ）解法一：由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，

圆心到直线l的距离

或
………………10分

解法二：把
（是参数）代入方程
，

得
，

．

或
……………10分

24．解：（1）当x
?时 f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0得x>-5所以x
成立

当
时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0得x>1，所以1

当
时 f(x)=-x-5>0得x<-5 所以x<-5成立

综上，原不等式的解集为{x|x>1或x<-5} ………………5分

（2）f(x)+
=|2x+1|+2|x-4|

当
所以m<9 ………………10分