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揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，
，则

A.
B.
C.
D.

2．若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
=

A．
B．
C．

D．

3．已知点A
和向量
=（2,3），若
，则点B的坐标为

A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5，14)

4．在等差数列
中，首项
公差
，若
，

则
的值为

A．37 B．36 C．20 D．19

5．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图

如图(1)示，则该几何体的体积为

A.7 B.
C.
D.
图（1）

俯视图

6．已知函数
,则
的图象大致为

7．某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为

A.18 B.24 C.30 D.36

8.设
是定义在（0,1）上的函数，对任意的
都有
，记
,则
=

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9．若点
在函数
的图象上，则
的值为 ．

10．过双曲线
的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .

11．某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件

1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使

用寿命（单位：小时）均服从正态分布
，且各个 图（2）

元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．

12．已知函数
．若命题：“
，使
”是真命题，则实数
的取值范围为 ．

13．已知点
满足
则点
构成的图形的面积为 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线过圆C：
的圆心C，且与直线OC垂直，则直线的极坐标方程为 ．

15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）所示，
是半圆周上的两个

三等分点，直径
，
，垂足为
，
与
相交于

点
，则
的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
，

（1）求函数
的定义域；

（2）设
是第四象限的角，且
，求
的值．

17. （本小题满分12分）

某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．

（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；

（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．

18．（本小题满分14分）

数列
中，
，
（
是常数，
），且
成公比不为的等比数列．

（1）求
的值；

（2）求
的通项公式；

（3）求最小的自然数
，使
．

19．（本小题满分14分）

在图（4）所示的长方形ABCD中， AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点， M 、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=

把长方形ABCD沿EF折成大小为
的二面角A-EF-C，

如图（5）所示，其中

（1）当
时，求三棱柱BCF-ADE的体积；

（2）求证：不论
怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；

（3）当
且
时，求异面直线MN与AC所成角

的余弦值．

20. （本小题满分14分）

如图（6）已知抛物线
的准线为，焦点为F，

圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角

为
的直线t，交于点A，交圆M于点B,且

．

（1）求圆M和抛物线C的方程；

（2）设
是抛物线
上异于原点
的两个不同点，且

,求
面积的最小值； 图（6）

（3）在抛物线
上是否存在两点
关于直线
对称？若存在，求出直线
的方程，若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）

设函数
在
上的最大值为
（
）．

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）证明：对任意
（
）,都有
成立．

揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一．选择题：BCDA DACC

解析：1．由
得
，
，故选B．

2．由
得

,选C．

3．设
，由
得
，所以选D．

4．由
得
，选A．

5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.
，故选D.

6．令
，则
，由
得
即函数
在
上单调递增，由
得
，即函数
在
上单调递减，所以当
时，函数
有最小值，
，于是对任意的
，有
，故排除B、D,因函数
在
上单调递减，则函数
在
上递增，故排除C,所以答案选A.

7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是
，顺序有
种，而甲乙被分在同一所学校的有
种，所以不同的安排方法种数是
．故选C.

8. 因

，故


，故选C.

二．填空题：9.
；10.
；11.
；12.
（或
）；13.2；

14.
（或
）；15.
.

解析：9．依题意得
，则
=

．

10．双曲线
的右焦点为
，渐近线的方程为
，所以所求直线方程为
即
．

11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布
得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为
，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：

12．由“

，使得
”是真命题，得

或


.

13．令
，则点
满足
，在
平面内画

出点
所构成的平面区域如图，易得其面积为2.

14．把
化为直角坐标系的方程为
，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为
化为极坐标系的方程为
或

15.依题意知
,则AD=2，过点D作DG
于G，则AG=BE=1，所以
.

三．解答题：

16．解：（1）函数
要有意义，需满足：
，

解得
，------------2分

即
的定义域为
-------------------------------------4分

（2）∵


--------6分

-------------------------------------------------8分

由
，得
, 又

∴
，∵
是第四象限的角∴
，
---------------------10分

∴
．-----------------------------------------------------------12分

17. 解：（1）设
表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，

依题意知，每次抽到二等品的概率为

，-------

---------------2分

故
. ------------------------------------------5分

(2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分

P(ξ＝0)＝·＝＝， P(ξ＝1)＝·＋·＝，

P(ξ＝2)＝·＋·＝， P(ξ＝3)＝·＝．-----------------------------10分

ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3



P











--------------------------------11分

数学期望为Eξ＝1×+2×+3×=1.2．-------------------------------------------------------12分

18．解：（1）
，
，
， --------------------------------1分

∵
，