江苏省扬州中学2012-2013高三第二学期期中测试

数学Ⅰ 2013.4

参考公式：

球的体积
，其中为球的半径．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题纸相应位置上．

1．设集合
,
,则
▲ ．

2．记
，则点
位于第 ▲ 象限．

3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

分组

[1.5,3.5)

[3.5,5.5)

[5.5,7.5)

[7.5,9.5)

[9.5,11.5)



频数

6

14

16

20

10



根据样本的频率分布估计，数据落在[5.5，9.5)的概率约是 ▲ .

4．已知向量
，向量
，则
的最大值为 ▲ ．

5．设，是两条不同的直线，，
是两个不同的平面，则下列正确命题的序号

是 ▲ ．

①.若
，
， 则
； ②.若
，
， 则
；

③. 若
，
，则
； ④.若
，
，则
．

6．已知双曲线
的一条渐近线的斜率为
，且右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．

7．设等比数列
的各项均为正数，其前项和为
．

若
，
，
，则
___▲___．

8．若变量
满足约束条件
,则目标函

数
的最小值是___▲___．

9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的

结果为 ▲ ．

10．已知
，且
，则
的值为____▲____．

11．已知函数
若
，使得
成立，则实数的取值范围是 ▲ ．

12．四棱锥
的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，
，
，则该球的体积为 ▲ ．

13．在
中，已知
，
，
，为线段
上的点，且
，则
的最大值为 ▲ ．

14．我们把形如
的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当
，
时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

函数
在一个周期内的图象如图所示,为

图象的最高点,、
为图象与轴的交点,且
为正三角形.

(Ⅰ)求的值及函数
的值域；

(Ⅱ)若
,且
,求
的值.

16．（本小题满分14分）

直三棱柱
中，
，
，
、分别为
、
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求四面体
的体积．

17．（本小题满分14分）

提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流

速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足
．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．

（Ⅰ）当0

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：

辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据
）

18．（本小题满分16分）

已知椭圆
过点
，且它的离心率
．直线

与椭圆
交于
、
两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当
时，求证：
、
两点的横

坐标的平方和为定值；

（Ⅲ）若直线
与圆
相切，椭

圆上一点满足
，求实数
的取值范围．

19．（本小题满分16分）

设各项均为正实数的数列
的前项和为
，且满足
（
）．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的通项公式为
（
），若
，
，
（
）成等差数列，求和的值；

（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列
中的三项
，
，
．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，其中
是常数，且
．

（I）求函数
的极值；

（II）对任意给定的正实数，是否存在正数，使不等式
成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；

（III）设
，且
，证明：对任意正数
都有：
．

高三数学测试答题纸

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩

1． 2． 3． 4． 5．

6． 7． 8． 9． 10．

11． 12． 13． 14．

二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15．解：

16．解：

17．解：

18．解：

19．解：

（20题做在反面）

数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作

答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，在梯形
中，
∥BC，点，分别在边
，
上，设
与
相交于点，若，，，四点共圆，求证：
．

B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵

有特征值
及对应的一个特征向量
，求曲线
在
的作用下的新曲线方程．

C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（为参数），若以直角坐标系
的点为极点，
为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为
．直线
与曲线交于
两点，求
．

D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设
，实数满足
，求证：
．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是
，甲、丙二人都回答错的概率是
，乙、丙二人都回答对的概率是
．

（Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；

（Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X，求X的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

已知数集
，其中
，且
，若对
（
），
与
两数中至少有一个属于，则称数集具有性质．

（Ⅰ）分别判断数集
与数集
是否具有性质，说明理由；

（Ⅱ）已知数集
具有性质，判断数列
是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．

数学Ⅱ(附加题)

A．[选修4 - 1：几何证明选讲]

解：

B．[选修4 - 2：矩阵与变换]

解：

C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]

解：

D．[选修4 - 5：不等式选讲]

解：

22．解：

23．解：

高三数学期中测试参考答案

1．
2．二 3．
4．4 5．① 6．
7．6 8．2

9．
10．
11．
12．
13．3 14．

15．(Ⅰ)由已知可得:

=3cosωx+

又由于正三角形ABC的高为2
,则BC=4

所以,函数

所以，函数
…………………………………………7分

(Ⅱ)因为
(Ⅰ)有

由x0

所以,

故

． …………………………………………14分

16．(Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,

B1B⊥AB, BC⊥AB,又B1B
BC=B，

∴AB⊥平面BB1C1C.

又Ｎ、Ｆ分别为A1 C1、B1 C1的中点

∴AB∥A1B1∥NF.

∴NF⊥平面BB1C1C.

因为FC平面BB1C1C.所以NF⊥FC .

取BC中点G，有BG=GF=GC.∴BF⊥FC ，又 NF
FB=F，

∴FC⊥平面NFB. 7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
,

． …………………………………………14分

17．解：(1) 由题意：当0＜x≤50时，v(x)＝30；

当50≤x≤200时，由于
，

再由已知可知，当x＝200时，v(0)＝0，代入解得k＝2000.

故函数v(x)的表达式为
．………………6分

(2) 依题意并由(1)可得
，

当0≤x≤50时，f(x)＝30x，当x＝50时取最大值1500. 　 当50

取等号当且仅当
，即
时，f(x)取最大值．

（这里也可利用求导来求最大值）

综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时．　　　　　　　　　　　　

…………………………………………14分

18．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

由已知得：
，解得

所以椭圆的标准方程为：
………………………………4分

(Ⅱ) 由
，得
，设
，
，

则
，为定值．…………9分

（Ⅲ）因为直线
与圆
相切

所以，

把
代入
并整理得：

设
，则有

因为，
， 所以，

又因为点在椭圆上， 所以，

． 因为
所以
，

所以
，所以
的取值范围为
． …………………………16分

19，解：（Ⅰ）由题意，
①，当
时，有
②，

②-①，得
，
各项为正，
，

从而
，故
成公差2的等差数列．又
时，
，解得
．故
． …………………………………………4分

（Ⅱ）
，要使
，
，
成等差数列，须
，

即
，整理得
，因为，为正整数，只能取2，3，5．故
，
，
． …………………………………………10分

（Ⅲ）作如下构造：
，
，
，其中
，它们依次为数列
中第
项，第
项，第
，显然它们成等比数列，且
，所以它们能组成三角形．

由
的任意性，知这样的三角形有无穷多个．

下面用反证法证明其中任意两个
和
不相似：若
∽
，且
，则
，整理得
，所以
，这与
矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故原命题正确． …………………………………………16分

20．解：为方便，我们设函数
，于是

（1）∵
， 由
得，
，

∴
，即
，解得
， 故当
时，
；当
时，
；∴当
时，
取极大值
，但
没有极小值． ……4分

…………………………………………10分

（3）对任意正数
，存在实数
使
，
，

则
，
，

原不等式

，

由（1）
恒成立，故
，

取
，即得
，

即
，故所证不等式成立． ………………………………………16分

21．A证明：连结EF．∵
四点共圆,∴
． ∵
∥
，∴
180°．

∴
180°． ∴
四点共圆．∵
交
于点G，∴
．…10分

21．B由
，即
，
，
，
，

所以
．设曲线上任一点
，在
作用下对应点
，

则
，即
，解之得
，

代入
，得
．

即曲线
在
的作用下的新曲线方程是
．…………………10分

21．C 的直角坐标方程为
，
的直角坐标方程为
，所以圆心
到直线
的距离
，
…………………10分

21．D证：
，

，

又


．…………………10分

22．解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件、、
，则
，且有
即
解得
，
． …………………4分

（Ⅱ）由题意，
．
，
．

．

所以随机变量
的分布列为

． …………………10分

解：（Ⅰ）由于
和
都不属于集合
，所以该集合不具有性质；

由于
、
、
、
、
、
、
、
、
、
都属于集合
，所以该数集具有性质． …………………………………………4分

（Ⅱ）
具有性质，所以
与
中至少有一个属于，

由
，有
，故
，
，故
．

，
，故
．

由具有性质知，
，又
，

，即
……①

由
知，
，
，…，，
均不属于，

由具有性质，
，
，…，，
均属于，

，而
，

，
，
，…，
即
……②

由①②可知
，即
（
）．

故
构成等差数列． …………………………10分