高三自评试题

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，
，则

A.
B.
C.
或
D.

2．若
，
是虚数单位，
，则
为

A．
B．
C．
D．

3．“
”是“
”为真命题的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件　 D. 既不充分也不必要条件

4．执行如图所示的程序框图．若输出
， 则框图中①处可以填入

A.
B.
C.
D.

5．下列函数中，与函数
定义域相同的函数为

A．
B.
C.
D.

6．设变量
、
满足线性约束条件
，则目标函数
的最小值为

A.
B.
C.
D.

7．已知函数
，为了得到函数
的图象，只需要将
的图象

A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度

C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

8．已知
、
分别是双曲线
：

的左、右焦点，
为双曲线右支上的一点，
，且
，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

9．已知
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，有下列五个命题：

①若
，且
，则
；②若
，且
，则
；

③若
，且
，则
；④若
，且
，则
；⑤若
，
，
，则
．则所有正确命题的序号是

A. ①③⑤ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ①②④

10．已知数列
是以
为公差的等差数列，
是其前
项和，若
是数列
中的唯一最小项，则数列
的首项
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

11．某几何体的三视图如图
所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是

A.
B.
C.
D.

12．设函数
在
内有定义,对于给定的实数
,定义函数
，设函数
=
,若对任意的
恒有
,则

A.
的最大值为
B.
的最小值为
C.
的最大值为
D.
的最小值为

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知两条直线
和
互相垂直，则
等于 ；

14．已知回归直线的斜率的估计值为
，样本的中心点为
，则回归直线方程

是 ；

15．无限循环小数可以化为分数，如
，

请你归纳出

；

16．一同学为研究函数
的性质，构造了如图所示的两个边长为
的正方形
和
点
是边
上的一动点，设
则
．请你参考这些信息，推知函数
的零点的个数是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤．

17．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）求函数
在
上的单调递减区间；

（Ⅱ）设
的内角
的对应边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值．

18．（本小题满分12分）已知集合
，
.

（Ⅰ）从
中任取两个不同的整数，记事件
{两个不同的整数中至少有一个是集合
中的元素}，求
；

（Ⅱ）从
中任取一个实数
，从
中任取一个实数
，记事件
{
与
之差的绝对值不超过
}，求
.

19．（本小题满分12分）如图，在长方形
中，
，
，
为
的中点，

为
的中点.现在沿
将三角形
向上折起，在折起的图形中解答下列两问：

（Ⅰ）在线段
上是否存在一点
，使
∥面
？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）若面
面
，求证：面
面
.

20．（本小题满分12分）

已知数列
满足
，
（
且
）．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

21．（本小题满分13分）已知点
为椭圆
的右焦点，过点
、
的直线与圆
相切.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 过点
的直线交椭圆
于
、
两点，求证：
为定值.

22．（本小题满分13分）

已知函数
（其中
为常数）

（Ⅰ）若
在区间
上不单调，求
的取值范围；

（Ⅱ）若存在一条与
轴垂直的直线和函数
的图象相切，且切点的横坐标
满足
，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）记函数
的极大值点为
，极小值点为
，若
对于
恒成立，试求
的取值范围．

高三自评试题

数学 (文科) 参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．

AABBC DDBCC DA

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.
14.
15.
16．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

……………………………………………3分

由
得：

所以，
在
上的单调递减区间为
………………………………………6分

（Ⅱ）
，则

，
，
，
………………………8分

向量
与向量
共线，
，

由正弦定理得，
　 …………………………………………………………………10分　

由余弦定理得，
，即
　

………………………………………………………………………12分

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知可得：
，
，

，

中的整数为
，
从中任取两个的所有可能情况为
共
种，…3分

中的整数为
，
事件
包含的基本事件为
共
个， …………………………5分

………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）
可看成平面上的点，全部结果构成的区域为
，其面积为
， …………………………………………8分

事件
构成的区域为
，其为图中阴影部分，它的面积为
……………………………………11分

…………………………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）线段
上存在一点
，且当
时，
∥面
………1分

证明如下：

设
为
的中点，连结
，则
∥

又因为
，
为
的中点

所以
∥
，所以
∥