广东省揭阳市2013届高中毕业班第二次高考模拟考试试题

数学(文科)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数
的定义域为

A.
B.
C.
D.

2．若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
=

A．
B．
C．

D．

3．已知点A
和向量
=（2,3），若
，则点B的坐标为

A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5，14)

4．设函数

，则函数的最小正周期为

A.
B.
C.
D.

5．以椭圆
的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为

A.
B.
C.
D.

6．在等差数列
中，首项
公差
，若
，则
的值为

A．37 B．36 C．20 D．19

7．设定义在[-1，7]上的函数
的图象如图（1）示，

则关于函数
的单调区间表述正确的是 图（1）

A.在[-1,1]上单调递减 B.在

单调递减，在
上单调递增；

C.在[5,7]上单调递减 D.在[3, 5]上单调递增

8. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图

如图(2)示，则该几何体的体积为

A.7 B.
C.
D.
图（2） 俯视图

9.若直线
平分圆
的周长，则
的取值范围是 A.
B.
C.
D.

10．已知点
满足
则点
构成的图形的面积为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（9－13题）

11．若点
在函数
的图象上，则
的值为 ．

12．已知函数
．若命题：“
，使
”是真命题，则实数
的取值范围为 .

13．对于集合M，定义函数
对于两个集合A，B，定义集合
. 已知
，
，则用列举法写出集合
的结果为 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线过圆C：
的圆心C，且与直线OC垂直，则直线的极坐标方程为 ．

15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）示，
是半圆周上的两

个三等分点，直径
，
，垂足为
，
与

相交于点
，则
的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
，

（1）求函数
的定义域；

（2）设
是第四象限的角，且
，求
的值．

17. （本小题满分12分）

某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试，

规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90

分以下(不包括90分)的则被淘汰．现有100人参

加测试，测试成绩的频率分布直方图如图（4）.

(1)求获得参赛资格的人数；

(2)根据频率分布直方图，估算这100名学生测试

的平均成绩；

(3)现在成绩
、
（单位：分）

的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到

高编号为
，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在
的概率．

18．（本小题满分14分）

数列
中，
，
（
是常数，
），且
成公比不为的等比数列．

（1）求
的值；

（2）求
的通项公式．

19．（本小题满分14分）

如图（5），已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长

为1的正方形，M 、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．

（1）求证：平面ABCD
平面ADE；

（2）求证： MN//平面BCF；

（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．

20. （本小题满分14分）

如图(6)已知抛物线
的准线为，焦点为F，

圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角

为
的直线t，交于点A，交圆M于点B,且

．

（1）求圆M和抛物线C的方程；

（2）试探究抛物线
上是否存在两点
关于直线 图（6）

对称？若存在，求出直线
的方程，若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知
，函数
.

（1）求
的单调区间；

（2）当
时，证明：方程
在区间（2，
）上有唯一解；

（3）若存在均属于区间[1，3]的
且
，使
=
，

证明：
．

揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考

数学(文科)参考答案及评分说明

一．选择题：BCDCB ABDBB

解析：2．由
得

,选C ，

3．设
，由
得
，所以选D

4．函数
，故其最小正周期为
，故选C.

6．由
得
，选A．

7. 函数
当x=0，x=3，x=6时无定义，故排除A、C、D，选B.

8．依题意可知该几何体的直观图如右上图示，其体积为.
，故选D.

9．依题意知直线
过圆C的圆心（-1,2），即
，由
，故选B.

10．令
，则点
满足
，在
平面内画

出点
所构成的平面区域如图，易得其面积为2.故选B.

二．填空题：11.
;12.
(或
)；13. {1，6，10，12}；

14.
（或
）；15.

解析：11．依题意得
，则
=

。

12．由“

，使得
”是真命题，得

或


.

13．要使
，必有
且

且
={1，6，10，12，16} ，所以
={1，6，10，12}

14．把
化为直角坐标系的方程为
，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为
化为极坐标系的方程为
或
.

15.依题意知
,则AD=2，过点D作DG
于G，则AG=BE=1，所以
.

三．解答题：

16．解：（1）函数
要有意义，需满足：
，解得
，------2分

即
的定义域为
-------------------------------------4分

（2）∵

--------6分

----------------------8分

由
，得
, 又

∴
，∵
是第四象限的角∴
，
------------------------10分

∴
．---------------------------------------------------12分

17.解： (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为：

100×(0.0050＋0.0045＋0.0030)×20＝25人．----------------3分

(2)设100名学生的平均成绩为，则

＝[×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0045＋×0.0030]×20＝78.4分．------------------------------------6分

(3) 成绩在
的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在
的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在
中抽取×5=2人，从成绩在
中抽取×5=3人，故
，----------------------------------8分

从
中任取两人，共有

十种不同的情况，-----------10分

其中含有
的共有7种，所以至少有1人的成绩在
的概率为．-----12分

18．解：（1）
，
，
， --------------------------------1分

∵
，
，
成等比数列，∴
， --------------------------------3分

解得
或
． --------------------------------4分

当
时，
，不符合题意舍去，故
．-------------------------------6分

（2）当
时，由
，
，……
，-------------8分

． -------------------------------10分

又
，
，∴
．------------------12分

当
时，上式也成立，∴
．--------------------------------14分

19．解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形

∴
又
, ∴
平面
，---------------2分

又∵
，∴
平面

∵
平面ABCD，∴平面ABCD
平面ADE-------------------------4分

（2）证法一：过点M作
交BF于
，

过点N作