海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学 （理科） 2013.5

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.集合
，

，则

A．
B．
C．
D．

2.已知数列
是公比为
的等比数列，且
，
，则
的值为

A．
B．
C．
或
D．
或

3. 如图，在边长为
的正方形内有不规则图形
. 向正方形内随机撒豆子，若

撒在图形
内和正方形内的豆子数分别为
，则图形
面积的估计值为

A.
B.
C.
D.

4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为

A.
B.

C.
D.

5.在四边形
中，“
，使得
”是“四边形
为平行四边形”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为

A.
B.
C.
D.

7.双曲线
的左右焦点分别为
，且
恰为抛物线
的焦点，设双曲线
与该抛物线的一个交点为
，若
是以
为底边的等腰三角形，则双曲线
的离心率为

A.
B.
C.
D.

8. 若数列
满足：存在正整数
，对于任意正整数
都有
成立，则称数列
为周期数列，周期为
. 已知数列
满足
，

则下列结论中错误的是

A. 若
，则
可以取3个不同的值

B. 若
，则数列
是周期为
的数列

C.
且
，存在
，
是周期为
的数列

D.
且
，数列
是周期数列

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.在极坐标系中，极点到直线
的距离为_______.

10.已知
，则
按照从大到小排列为______.

11.直线
过点
且倾斜角为
，直线
过点
且与直线
垂直，则直线
与直线
的交点坐标为____.

12.在
中，
，则

13.正方体
的棱长为
，若动点
在线段
上运动，则
的取值范围是______________.

14.在平面直角坐标系中，动点
到两条坐标轴的距离之和等于它到点
的距离，记点
的轨迹为曲线
.

(I) 给出下列三个结论：

①曲线
关于原点对称；

②曲线
关于直线
对称；

③曲线
与
轴非负半轴，
轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于
；

其中，所有正确结论的序号是_____;

(Ⅱ)曲线
上的点到原点距离的最小值为______.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的定义域；

(Ⅱ) 求函数
的单调递增区间.

16.（本小题满分13分）

福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为
，获得50元奖金的概率为
.

(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；

（II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求
的取值范围.

17. （本小题满分14分）

如图1，在直角梯形
中，
，
，
，

. 把
沿对角线
折起到
的位置,如图2所示,使得点
在平面
上的正投影
恰好落在线段
上，连接
,点
分别为线段
的中点．

(I) 求证：平面
平面
；

(II)求直线
与平面
所成角的正弦值；

(III)在棱
上是否存在一点
,使得
到点
四点的距离相等？请说明理由.

18.（本小题满分13分）

已知函数
,点
为一定点,直线
分别与函数
的图象和
轴交于点
,
,记
的面积为
.

（I）当
时,求函数
的单调区间；

（II）当
时, 若
,使得
, 求实数
的取值范围.

19. （本小题满分14分）

已知椭圆

的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为
的菱形的四个顶点.

（I）求椭圆
的方程；

（II）直线
与椭圆
交于
，
两点，且线段
的垂直平分线经过点
，求

（
为原点）面积的最大值.

20.（本小题满分13分）

1

2

3







1

0

1



设
是由
个实数组成的
行
列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.

(Ⅰ) 数表
如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1

(Ⅱ) 数表
如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数
的所有可能值；

(Ⅲ)对由
个实数组成的
行
列的任意一个数表
，

能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2

和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.

 海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学 （理）

参考答案及评分标准 2013．5

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题