吉林省实验中学

2013年高三年级下学期第二次模拟考试题

数学（理）试题

命题人：高立东 审题人：侯玉臣

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数
＝

（A）1 （B）－1 （C）i （D）－i

（2）向量
，若
，则实数的值为

（A）
（B）
（C）
（D）1

（3）已知随机变量X服从正态分布N
，若P(X≤2)＝0.72，则P(X≤0)＝

（A）0.22 （B）0.28 （C）0.36 （D）0.64

（4）在等差数列
中，
，

则此数列的前10项的和
＝

（A）10 （B）20 （C）40 （D）80

（5）执行右图所示的程序框图，若要使输入的x值与

输出的y值相等，则这样的x值的个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（6）设函数
，

且其图象关于直线
对称，则

（A）
的最小正周期为，且在
上为增函数

（B）
的最小正周期为，且在
上为减函数

（C）
的最小正周期为
，且在
上为增函数

（D）
的最小正周期为
，且在
上为减函数

（7）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）6 （B）5.5

（C）5 （D）4.5

（8）下列叙述正确的个数是

①l为直线，α、β为两个不重合的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α

②若命题
，则

③在△ABC中，“∠A＝60°”是“cosA＝
”的充要条件

④若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（9）双曲线
（
）的两个焦点为
，若双曲线上存在一点，满足
，则双曲线离心率的取值范围为

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为

（A）3 （B）2 （C） （D）1

（11）已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M．若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为p．则下列结论正确的是

（A）当且仅当AB＝AD时，p的值最大

（B）当且仅当AB＝AD时，p的值最小

（C）若
的值越大，则p的值越大

（D）不论边长AB，AD如何变化，p的值为定值

（12）定义域为R 的偶函数
满足对
R，都有
成立，且当
时，
．若函数
在
上至少

有三个零点，则的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知点P(x，y)的坐标满足条件
则z＝2x－y的最大值是_________．

（14）袋中装有分别编号为1，2，3，4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法有_________种（用数字作答）．

（15）已知P是面积为1的△ABC内的一点（不含边界）,若△PBC，△PCA和△PAB的面积分别为
，则
的最小值是_________．

（16）已知等差数列
的首项
及公差都是整数，前项和为
，若
，设
则
＝_________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为ΔABC三个内角A，B，C的对边，且满足
．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若ΔABC的面积为
，求b的取值范围．

（18）（本小题满分12分）

某学校对高三学生一次模拟考试的数学成绩进行分析，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图估计这次考试全校学生数学成绩的众数、中位数和平均值；

（Ⅱ）若成绩不低于80分为优秀成绩，视频率为概率，从全校学生中有放回的任选3名学生，用变量ξ表示3名学生中获得优秀成绩的人数，求变量ξ的分布列及数学期望E(ξ) ．

（19）（本小题满分12分）

已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）
中，
，
，点在
上．

（Ⅰ）若是
中点，求证：
∥平面
；

（Ⅱ）当
时，求二面角
的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

已知点M、N的坐标分别是
、
，直线
、
相交于点，且它们的斜率之积是
．

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）直线l：
与圆O：
相切，并与点的轨迹交于不同的两点A、B．当
时，求
的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
（a∈R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当a＝1时，求
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在
上无零点，求a的最小值；

（Ⅲ）若对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
，使得
成立，求a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，
是⊙O的直径，
是⊙O的一条弦，
的平分线
交⊙O于点，
⊥
，且
交
的延长线于点，
交
于点．

（Ⅰ）求证：
是⊙O的切线；

（Ⅱ）若
，求
的值．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：
（是参数）．

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线
的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且
，试求实数m值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）解不等式：
；

（Ⅱ）若
对一切实数x均成立，求m的取值范围．

参考答案

一、选择题

CABCC BCBAC DB

二、填空题

13、4 14、32 15、3 16、

三、解答题

17．解：⑴由正弦定理得
，

在
中，
，

，又
，

，注意到
．

⑵
，

由余弦定理得
，

当且仅当
时，“＝”成立，

为所求．

18、 (Ⅰ)依题意可知

中位数：75，中位数：75

所以综合素质成绩的的平均值为74.6

(Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为
，

由题意知
，

故其分布列为

0

1

2

3















………………9分

19、证明：（1）证明：连结BC1，交B1C于E，DE．

∵ 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，

∴侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，

∴ DE// AC1．

因为 ∵DE平面B1CD， AC1平面B1CD，

∴AC1∥平面B1CD．

（2）∵ AC⊥BC，

所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 0, c)，B1 (3, 0, 4)．

设D (a, b, 0)（
，
），

∵点D在线段AB上，且
， 即
．

∴
．

所以
，
，
．

平面BCD的法向量为．

设平面B1 CD的法向量为
，

由
，
， 得
，

所以
，
．

设二面角
的大小为
，
．

所以二面角
的余弦值为
．

20、（Ⅰ）设
，则
，

整理得
． …………4分

（Ⅱ）圆O与直线l相切，
，即
．…………5分

当直线
过
或
点时，有
，

由
解得
，

直线
与点的轨迹交于不同的两点A、B，且M、N不在点的轨迹上，

………（1） …………6分

由
消去y,得
，

设
，

， …………7分

将
代入上式得
. …………9分

又
，


，得

.………（2）

由（1）和（2）得
， …………10分

，将
代入，得

…………11分

…………12分

21、解：（I）当
…………1分

由
由

故
…………3分

（II）因为
上恒成立不可能，

故要使函数
上无零点，只要对任意的
恒成立，

即对
恒成立。 …………4分

令

则
…………5分

综上，若函数

…………6分

（III）

所以，函数
…………7分

故
① …………9分

此时，当
的变化情况如下：











—

0

+







最小值







即②对任意
恒成立。 …………10分

由③式解得：
④

综合①④可知，当

在

使
成立。…………12分

（22）解：（Ⅰ） 证明：连结
，可得

∴
， 又

∴
，又
为半径 ∴
是⊙O的切线 …………………5分

（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H 则有∠DOH=∠CAB

cos∠DOH=cos∠CAB=

设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x

∴AH=8x AD2=80x2

由△AED∽△ADB可得 AD2=AE·AB=AE·10x

∴AE=8x ……………………………8分

又由△AEF∽△DOF 可得AF∶DF= AE∶OD =
；

∴
=
………………………10分

（I）曲线C的极坐标方程是
化为直角坐标方程为:

直线
的直角坐标方程为：
………………5分

（Ⅱ）解法一：由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，

圆心到直线l的距离

或
………………10分

解法二：把
（是参数）代入方程
，

得
，

．

或
……………10分

24．解：（1）当x
?时 f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0得x>-5所以x
成立

当
时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0得x>1，所以1

当
时 f(x)=-x-5>0得x<-5 所以x<-5成立

综上，原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}

（2）f(x)+
=|2x+1|+2|x-4|

当
所以m≤9