重庆南开中学高2013级高三4月月考

数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数
的共轭复数为（ ）

A、
B、
C、
D、

2、“命题
为假”是“命题
为假”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

3、已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
（ ）

A、0.5 B、0.4 C、0.3 D、0.2

4、已知集合
，则
（ ）

A、
B、

C、
D、

5、已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半

部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（ ）

A、
B、

C、
D、

6、执行如图所示的程序框图，则输出的
（ ）

A、15 B、23

C、40 D、56

7、在区间
上随机地取两个数
，则使得关于的方程
在
和
内各有一个根的概率为（ ）

A、
B、

C、
D、

8、过双曲线
的右焦点
向其一条渐近线作垂线
，垂足为
与另一条渐近线交于
点，若
，则双曲线的离心率为（ ）

A、2 B、
C、
D、

9、已知等差数列
中，
，记数列
的前项和为
，若对任意的
，都有
成立，则整数的最小值为（ ）

A、5 B、6 C、7 D、8

10、将大小形状相同的4个红球和2个白球放入如图所示的九宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色（有公共边的两个方格为相邻），则所有不同的放法种数为（ ）

A、32 B、48

C、50 D、54

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。把答题卡相应位置上。

11、已知幂函数
的定义域为
，且单调递减，则
。

12、二项式
的展开式中项的系数为 。

13、如图，在
中，
，线段
的中点固定在点处，将线段
在
所在的平面内绕着点任意旋转，若
，则
的取值范围是 。

考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。14、直角坐标系
中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若点在曲线
上，点在曲线
上，则
的最小值为 。

15、如图所示，
为圆
的直径，
为圆上两点，

若
，则圆
的面积为 。

16、关于的不等式
的解集为 。

三、解答题：本大题6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（13分）、、
三所高校举行自主招生考试，已知某同学通过高校、、
考试的概率分别为
、
、
，且彼此之间相互独立。

（1）如果该同学三所高校的考试都参加，求恰有2所通过的概率；

（2）假设该同学按、、
的顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，求该同学参加考试的次数
的分布列及数学期望。

18、（13分）已知定义在上的函数
。

（1）求
的最小正周期以及对称轴方程；

（2）设
的角
所对的边分别为
，且
，求
面积的最大值。

19、（13分）如图，四棱锥
中，
，
，
，
。

（1）证明：
；

（2）若
为
中点，求二面角
的余弦值。

20、（12分）已知函数
。

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若函数
的图象与轴有3个不同的交点，求的取值范围。

21、（12分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，焦距为2，点
在椭圆上。

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过椭圆
外一点
作椭圆的两条切线，切点分别为
，则直线
的方程为
。现由点
向（1）中椭圆引两条切线，切点分别为
，过
任作一条直线与椭圆交于
两点，与弦
交于点，求
的值。

22、（12分）已知数列
满足
。

（1）求证：
是常数列，并求出数列
的通项公式；

（2）证明：对任意的
，有
。