湖北黄冈市

2013年高三年级4月份模拟考试

数学（理）试题

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选英中，只有一个是符合题目要求的）

1．
的值属于区间

A．
B．
C．
D．

2．下列命题中，真命题是

A．
B．

C．
的充分条件 D．

3．由直线
的图象围成的封闭图形的面积为

A．
B．
C．
D．

4．已知复数
为虚数单位）是关于x的方程
为实数）的一个根，则
的值为

A．22 B．36 C．38 D．42

5．若直线
相切，则实数a的值为

A．—4 B．—2 C．2 D．4

6．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身体x（单位：cm）具有线性相关关系。根据一组样本数据（
，用最小二乘法建立的回归方程是
，则下列结论中不正确的是

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心（
）

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

7．某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为

A．20

B．

C．56

D．60

8．已知直线x=2与双曲线
的渐近线

交于E1、E2两点，记
，任取双

曲线C上的点P，若
，则

A．
B．
C．
D．

9．假设你家订了一份早报，送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00—8：00之间，则你父亲在离开家前能得到报纸的概率为

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
上的偶函数，当
时，

的零点个数为

A．4 B．6 C．8 D．10

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。

（一）必考题（11—14题）

11．在△ABC中，内角C=60°，

△ABC的面积S= .

12．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，

输出的值为s，则
的展开式中
项的

系数是 （用数字作答）.

13．数式
中省略号“…”代表无限重复，但原

式是一个固定值，可以用如下方法求得：

令原式
，则

1+
，

用类似方法可得
= .

14．设函数
是公差为
的等差数列，若
①
；②
= .

（二）选考题（请考生在第15、16题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分）

15．（选修4—1，几何证明选讲）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF·DB= .

16．（选修4—4，坐标与参数方程）在直角坐标系xOy中，

曲线C1的参数方程为
（t为参数），在以O为极

点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程

为
，则C1与C2的交点个数为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知向量
函数
的两条相邻对称轴间的距离为

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）当
时，求
的值域.

18．（本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日匀值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米—75微克/立方米之间空气质量为二级；75微克/立方米以上空气质量为超标。

某试点城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中顾及机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.

（1）从这15天时PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

（2）从这15天的数据中任取三天数据，记
表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求
的分布列及期望E
.

19．（本小题满分12分）已知数列
的前n项和
，且
的最大值为8.

（1）求常数k的值，并求
；

（2）对任意
，将数列
中落入区间
内的项的个数记为
，求数列{
}的前m项和
.

20．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=
，点M在线段EC上且不与E、C垂合。

（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；

（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
时，求三棱锥M—BDE的体积.

21．（本小题满分13分）设点A（
，0），B（
，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为
.

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）若直线l过点F（1，0）且绕F旋转，l与圆
相交于P、Q两点，l与轨迹C相交于R、S两点，若|PQ|
求△F′RS的面积的最大值和最小值（F′为轨迹C的左焦点）.

22．（本小题满分14分）已知函数

（1）求
的极值；

（2）若对任意
，使得
恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：对
，不等式
成立.

参考答案

一、选择题（共50分）

1—5　BCBCA 6—10　DBDCD

二、填空题（25分）

11、 　12、70 13、2 　14、0，
　15、5　　　16、2

三、解答题（共75分）

17、（12分）（Ⅰ）

…………………………4分

由
得

单调递增区间是
…………………………………………8分

（Ⅱ）
　　
　　　

　　　即
的值域是
…………………………………12分

18、（12分）（Ⅰ）15天中空气质量达到一级的有5天，

则恰有一天空气质量达到一级的概率
………………………………4分

（Ⅱ）15天中空气质量超标的天数为5天，

　　　　

　　　
………………………………8分

分布列为

0

1

2

3
















…………………………………………12分

19、（12分）（Ⅰ）

…………………………………………………3分

　　
　　当
时，

数列
的通项公式为
…………………………………………………6分

（Ⅱ）依题意有
　　

…………………………………………………9分

………………………………12分

20、（12分）（Ⅰ）以
分别为
轴建立空间直角坐标系

则

的一个法向量

，
。即
……………………………4分

（Ⅱ）依题意设
，设面
的法向量

则
，

令
，则
，面
的法向量

，解得

为EC的中点，
，
到面
的距离

…………………………………………………………8分

21、（13分）（Ⅰ）设
，则

化简
　　
轨迹
的方程为
……………………4分

（Ⅱ）设
，
的距离
，

，将
代入轨迹
方程并整理得：

设
，则
，

设
，则
上递增，

，
…………………………………………………………13分

22、（14分）（Ⅰ）
，
，

，
………………………4分

（Ⅱ）

易知
，
，设

，设
，

，

，
上是增函数，

……………………………………………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
恒成立，

令
，

取

相加得：

…………………14分