河南省六市2013届高三毕业班第二次联合考试

数学（理）试题

一、选择题

1．若全集
，则

A．
B．
C．
D．

2．某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图，如果该公司共有员工200人，则信息收到125条以上的大约有

A．6人 B．7人 C．8人 D．9人

3．设
是实数，若复数
（
为虚数单位）在复平面内对应的点在直线
上，则
的值为

A．
B．0 C．1 D．2

4．已知向量
，如果向量
与
垂直，则实数
的值为

A．
B．
C．
D．2

5．从6名男生4名女生中选4名代表，则至少有1名女生入选的选法有（ ）种

A．205 B．210 C．190 D．195

6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为

7．当实数
满足不等式
时，恒有
成立，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8．已知
是单位圆（圆心在坐标原点
）上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转
到OB，交单位圆于点
，则
的最大值为

A．
B．
C．1 D．

9．已知函数
的部分图象如图所示，当
时，满足
的
的值为

A．
B．
C．
D．

10．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为
，直线EF交双曲线右支于点P，若
，则双曲线的离心率是

A．
B．
C．
D．

11．在可行域内任取一点，规则为如图所示的流程图，则能输出数对
的概率是

A．
B．
C．
D．

12．已知
，则
的最小值为

A．12 B．24 C．36 D．48

二、填空题

13．已知
，那么
展开式中含
项的系数为 。

14．
中，
，则
的最小值为 。

15．已知直线
与抛物线
相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若
，则
的值为 。

16．已知平面
截一球面得圆M，过圆心M且与
成
二面角的平面
截该球面得圆N 。若该球面的半径为4，圆M的面积为
，则圆N的面积为 。

三、解答题

17．在公差不为0的等差数列
中，
成等比数列。

（1）已知数列
的前10项和为45，求数列
的通项公式；

（2）若
，且数列
的前
项和为
，若
，求数列
的公差。

18．盒子内装有5张卡片，上面分别写有数字1、1、2、2、2，每张卡片被取到的概率相等。先从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字
，然后放回盒子内搅匀，丙从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字
。设
。

（1）求随机变量
的分布列和数学期望；

（2）设“函数
在区间
内有且只有一个零点”为事件A，求A的概率
。

19．在三棱柱
中，已知
，
的中点为
垂直底面
。

（1）证明在侧棱
上存在一点E，使得
平面
，并求出AE的长；

（2）求二面角
的平面角的余弦值。

20．如图，已知定点
，以线段
为对角线作周长是
的平行四边形
。平面上的动点
满足
（
为坐标原点）。

（1）求点E、M所在曲线
的方程及动点
的轨迹
的方程；

（2）已知过点
的直线
交曲线
于点P、Q，交轨迹
于点A、B，若
，求的内切圆的半径的取值范围。

21．已知函数
。

（1）求函数
的图象在
处的切线方程；

（2）证明不等式：
；

（3）对一个实数集合
，若存在实数
，使得M中任何数都不超过
，则称
是M的一个上界。已知
是无穷数列
所有项组成的集合的上界（其中
是自然对数的底数），求实数
的最大值。

选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．如图，已知四边形ABCD是梯形，
，且
是圆
的直径，直线MN与圆
相切于点A。

（1）若
，且圆O的面积为
，求AB的长；

（2）在（1）的条件下，求梯形ABCD的周长。

23．选修4—4，坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程是
（
是参数），圆C的极坐标方程为
。

求圆心C的直角坐标；

由直线
上的点向圆
引切线，求切线长的最小值。

24．已知
，设关于
的不等式
的解集为
。

（1）若
，求A； （2）若
，求
的取值范围。