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福建省宁德市2013届高三临考适应性检测理科数学卷1

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置．）

1. 已知集合M = {1,2}，N = {
?1｜
∈M}，则M∪N等于

A．{1,2,3} B．{1,2} C．{1} D．(

2．复数
，若
的对应点位于直线x+y=0上，则实数b的值为

A．-3 B．3 C．-
D．

3.已知实数等比数列
中，Sn是它的前n项和.若
，且a4与2a7的等差中项为
，则S5等于

A．35 B.33 C.31 D.29

4. 函数f(x)=lnx+x-2的零点位于区间 ( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5. a的值由右边程序框图算出，则二项式
展开式的常数

项为

A.
B.

C.
D.

6. 函数
的图象为C，给出以下结论：

①图象
关于直线
对称； ②图象
关于点
对称；

③函数
在区间
内是增函数；

④由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象C．其中正确的是

A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④

7. 若圆x2+y2=2在点(1，1)处的切线与双曲线
的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率等于

A.
B.
C. 2 D.

8. 下列四个命题中，错误的是

A.已知函数f(x)=
，则f(x)是奇函数

B.设回归直线方程为
，当变量
增加一个单位时，
平均减少2.5个单位

C.已知
服从正态分布 N (0,σ 2)，且
，则

D.对于命题
：“(x(R，
”，则( p：“(x(R，
”

9. 如图，动点
在正方体
的对角线
上．过点
作垂直于平面
的直线，

与正方体表面相交于M、N，设
，
，则
的图象大致是

10．已知函数f(x)满足：①当0≤x≤2时，f(x)=(x-1)2 ，②( x ([0，8]，f(x-
)= f(x+
) .

若方程 f(x)=M log2x在[0，8]上有偶数个根，则正数M的取值范围是

A.
B.
或M=1或2

C.
或M=1或
D.
或M=1或
或log62

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填写在答题卷相应位置．）

11. 非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为______________.

12. 一个空间几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .

13. 若在区域
内任取一点P，则点

P落在单位圆
内的概率为 .

14. 某时段内共有
辆汽车经过某一雷达地区，时速

频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h

的汽车数量为 辆.

15.设集合I={1，2，3，……，n} (n(N，n≥2)，构造

I的两个非空子集A，B，使得B中最小的数大于A

中最大的数，则这样的构造方法共有__________种.

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算过程．）

16.（本题满分13分）

在锐角
中，三个内角
所对的边依次为
．设
，

，
，
.

（Ⅰ）若
，求
的面积；

（Ⅱ）求b+c的最大值．

17. (本小题满分13分)对某班级50名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计，得到如下频率分布表：

参加次数

0

1

2

3



人数

0.1

0．2

0.4

0.3



根据上表信息解答以下问题：

(Ⅰ)从该班级任选两名同学，用η表示这两人参加社会实践次数之和，记“函数
在区间
，
内有零点”的事件为
，求
发生的概率
；

(Ⅱ)从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.

18.(本题满分13分)如图，菱形ABCD中，∠ABC=60o, AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB= AE=2，CF=3.

（Ⅰ）求证EF⊥平面BDE；

（Ⅱ）求锐二面角E—BD—F的大小.

19. （本题满分13分）已知椭圆
经过点（0，
），离心率为
，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且
，当直线l的倾斜角变化时，探求
的值是否为定值？若是，求出
的值，否则，说明理由；

（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

20.（本小题满分14分）已知函数f(x)=aex，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a为常数，e为自然对数底），函数y =f(x)在A(0，a)处的切线与y =g(x)在B(0，lna)处的切线互相垂直.

(Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

(Ⅱ) 求证：对任意n (N*， f(n)+g(n)>2n；

(Ⅲ) 设y =g(x-1)的图象为C1，h(x)=-x2+bx的图象为C2，若C1与C2相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C1、C2于M、N，问是否存在实数b，使得C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？说明你的理由.

21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵
,A的一个特征值
，属于λ的特征向量是.

（Ⅰ）求矩阵A；

（Ⅱ）求直线
在矩阵A所对应的线性变换下的像的方程.

(2) （本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（t为参数），曲线C的极坐标方程为

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）求直线
被曲线C截得的弦长.

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

对于任意实数
和
，不等式
恒成立，

试求实数
的取值范围．

参考答案

一、选择题：1.A，2.A，3.C，4.B，5.C，6.C，7.A，8.D，9.B，10.D.

二、填空题：11. 30o , 12.
，13.
，14. 38 ，15.
.

三、解答题:

16.（本题满分13分）16.（13分）

解法一：（Ⅰ）

，　 ………………1分

即
，　
，∴
，

∴
，
， ………………3分

设ΔABC的外接圆半径为R，由a=2RsinA得
=2R
，∴R=2

由b=2RsinB得sinB=
， 又b

∴

∴ΔABC的面积为
. ………8分

（Ⅱ）由
得
， ………………9分

∴
， ………………11分

，当且仅当
时取等号，∴
的最大值
. ………………13分

解法二：由正弦定理得：
=
＝4， ………………9分

又B＋C＝(－A＝
，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(
－B)＝
sin(B＋
)， ……………11分

当B＋
=
时, 即
时，b＋c取最大值
． ………………13分

17. 解:(Ⅰ) 函数
在
内单调递增，在区间
上有零点的条件是
即：

解得：
,所以，
或
；……………………………………………3分

，
，……………………5分

与
为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式得：

， …………………………………… 6分

(Ⅱ) 根据频率分布得到頻数分布：

参加次数

0

1

2

3



参加人数

5

10

20

15



从该班级任选两名同学，用
表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，则
的可能取

值分别是0，1，2，3，………………………………………………………9分

于是：

，
，

，
. …………………11分

从而
的分布列如下表：

0

1

2

3
















的数学期望为
． ………………………13分

18. （Ⅰ）证法一：连接AC、BD，设AC∩BD=O，

∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，以O为原点，OA，OB为x、y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系（图1），……2分

则
，

，
，…………4分

∴
，
，

∴EF⊥DE，EF⊥BE，又DE∩BE=E，∴EF⊥平面BDE.………6分

（Ⅱ）解法一：由知（Ⅰ）
是平面BDE的一个法向量，

设
是平面BDF的一个法向量，

,由

得：
，取x=3，得z=1，y=0，

于是
，………………………………………………………………………10分

,………………………………………12分

但二面角E—BD—F为锐二面角，故其大小为45o. ………………………………………13分

（Ⅰ）证法二：连接AC、BD，设AC∩BD=O， (图2)

∵ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，

∵CF⊥平面ABCD，∴CF⊥BD，AC∩CF=C，

∴BD⊥平面ACF，EF(平面ACF，∴BD⊥EF，……2分

，
,

，∴
，

∴
， ……………………………………………4分

又BD∩OE=O，∴EF⊥平面BDE.…………………………6分

（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）BD⊥平面ACF，OE(平面ACF，OF(平面ACF，

∴OE⊥BD，OF⊥BD，∴∠EOF是二面角E—BD—F的一个平面角， ………………10分

又
，
，∴∠EOF=45o，即二面角E—BD—F的大小为45o.…13分

19. 解：(Ⅰ)依题意得b=
，
，
，∴ a=2，c=1，

∴ 椭圆C的方程
.…………………………………………………………3分

(Ⅱ)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为：
，求得l与y轴交于M(0，-k)，又F坐标为 (1，0)，设l交椭圆于
，

由
消去y得
，

，………5分

又由
∴
，

同理
，

，

…………………7分

所以当直线l的倾斜角变化时，
的值为定值
.………………………………8分

（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则
为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK的中点
，

猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点
，…………………9分

证明：由（Ⅱ）知
，
，

当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点

，

当
时，

. ………………………………11分

∴点
在直线
上，同理可证，点
也在直线
上；

∴当m变化时，AE与BD相交于定点
， …………………………………13分

20. 解：(Ⅰ) f ′ (x)=aex, f ′ (0)=a, g ′ (x)=-
，g ′ (0)=-1，…………2分

由已知a·(-1)=-1，∴ a=1，

∴ f(x)=ex(x (R)，g (x)=-ln(x+1)，(x>-1). ………………………………4分

(Ⅱ) 证明：令F(x)=f(x)+g(x)-2x =ex-ln(x+1)-2x，(x(1)，

则F ′ (x)= ex-
-2( F ′ (1)= e-
>0，∴F(x)在
上递增，…………6分

n (N*(
，∴F(n) ( F (1)>0，即 f(n)+g(n)>2n. ……………………8分

(Ⅲ) 答：不存在。

设P(x1，y1)，P(x2，y2)，（0

且-lnx1=-x12+ax1，-lnx2=-x22+ax2，

f ( (x-1)=
， h( (x)=- 2x+a，

C1在M处的切线斜率为kM=
，C2在N处的切线斜率为kN =-( x1+ x2)+a，

令kM =kN，得
=-( x1+ x2)+a， …………………………………………10分

，

∴
，令 t=
>1，得
=0，……①………12分

设p(t)=
(t>1) ， p ′(t)=
，

∴ p(t)=在区间(1，+∞)递增，∴p(t)> p(1)=0，与①矛盾，

∴不存在a，使得C1在M处的切线与C2在N处的切线平行.……………………14分

21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

解:（1） ①由
，得
，解得
，…………………2分

② 因为矩阵A所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线
上的两点（0，0），（1，2）， ……………………………………………………………………4分

由

，

得：点（0，0），（1，3）在矩阵A所对应的线性变换下的像是（0，0），（5，-7）， ……………………………………………6分

从而直线
在矩阵A所对应的线性变换下的像的方程为
.…………7分

(2) （本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）由
得
，

∴曲线C的直角坐标方程为
………………………………………2分

（2）由
消去t得
的普通方程为
，………………………4分

，与
联立消去y得
，

设
与C交于A(x1，y1) 、B(x2，y2)，则x1+ x2=6，x1 x2=
， ……………………5分

∴直线
被曲线C截得的弦长为

|AB|=
， ……………………7分

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

解：原式等价于
，设
，

则原式变为
对任意
恒成立．……………………2分

因为

，当
时取到最小值
．…………4分

所以有

解得x∈
． …………………7分