河南省中原名校

2012—2013学年度高三下期第二次联考

数学（理）试题

命题学校：开封高中 责任老师：黄涛

（考试时间：1 2 0分钟试卷分数：1 5 0分）

注意事项

1．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚．

2．请把第I卷中每小题你认为正确选项的代号填涂在答卷中选择题答案栏内．

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数
（i为虚数单位），则
的虚部为

A．-1 B．0 C．i D．l

2．已知集合
，则下列不正确的是

A．
B．
C．
D．

3．若实数
．则函数
的图像的一条对称轴方程为

A．x=0 B．
C．
D．

4．甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中选。甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选修方案共有

A．36种 B．48种 C．96种 D．1 92种

5．已知不共线向量
则

A．
B．
C．
D．

6．若
，则
的大小关系

A．
B．

C．
D．

7．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体三视图如下，则此几何体的体积是（ ）

A．64

B．

C．

D．

8．执行如图所示的程序框图，若输出a= 341，判断框内应填写（ ）

A．k<4? B．k<5?

C．k<6? D．k<7?

9．若A为不等式组
所示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域面积为（ ）

A．2 B．1

C．
D．

10．已知过抛物线y2 =2px（p>0）的焦点F的直线x－my+m=0与抛物线交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为2
，则m6+ m4的值为（ ）

A．1 B． 2 C．2 D．4

11．平行四边形ABCD中，
·
=0，沿BD折成直二面角A一BD－C，且4AB2 +2BD2 =1，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2，函数g（x）=
，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（ ）

A．11 B．10 C．9 D．8

第Ⅱ卷

本卷分为必做题和选做题两部分，13—21题为必做题，22、23、24为选考题。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
的展开式中常数项的值是 （数字作答）；

14．已知
的图像在点
处的切线斜率是 ；

15．△ABC中，
，则∠C最大值为_ ；

16．下列若干命题中，正确命题的序号是 。

①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a一l）y一a+7 =0平行的充分不必要条件；

②△ABC中，若acosA=bcos B，则该三角形形状为等腰三角形；

③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；

④对于命题
使得
，则
均有
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤）

17．（12分）已知等差数列
中，首项a1=1，公差d为整数，且满足
数列
满足
前
项和为
．

（1）求数列
的通项公式an；

（2）若S2为Sl，
的等比中项，求正整数m的值．

18．（12分）为了保养汽车，维护汽车性能，汽车保养一般都在购车的4S店进行，某地大众汽车4S店售后服务部设有一个服务窗口专门接待保养预约。假设车主预约保养登记所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往车主预约登记所需的时间统计结果如下：

登记所需时间（分）

1

2

3

4

5



频率

0．1

0．4

0．3

0．1

0．1



 从第—个车主开始预约登记时计时（用频率估计概率），

（l）估计第三个车主恰好等待4分钟开始登记的概率：

（2）X表示至第2分钟末已登记完的车主人数，求X的分布列及数学期望．

19．（12分）如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．

（1）求证：AD⊥BC；

（2）求二面角B—AC—D的余弦值．

20．（12分）若椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为
：2．

（1）过点C（-1,0）且以向量
为方向向量的直线
交椭圆于不同两点A、B，若
，则当△OAB的面积最大时，求椭圆的方程。

（2）设M，N为椭圆上的两个动点，
，过原点O作直线MN的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

21．（12分）已知函数f（x）=1n（2ax+1）+
－x2－2ax（a∈R）．

（1）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；

（2）当a=
时，方程f（1－x）=
有实根，求实数b的最大值．，

【选考题】

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，△ABC内接于⊙O，AB =AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．

（1）求证：△ABE≌△ACD；

（2）若AB =6，BC =4，求AE．

23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线
的参数方程为
（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为
。

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线
交于点A，B，若点P的坐标为（2，
），求|PA|+|PB|．

24．（10分）选修4－5，不等式选讲

已知函数f（x）=|x+l|，g（x）=2|x|+a．

（1）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；

（2）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

参考答案

一、选择题答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

C

A

B

C

C

D

C

A

C



二、 13. 45 14. -1

15.
16. （1）（3）（4）

三、解答题

17．解：

（1）由题意，得
解得
< d <
．

又d∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1)
2=2n－1．
4分

（2）∵

，

∴

． 10分

∵
，
，
，S2为S1，Sm(m∈
)的等比中项，

∴
，即
， 解得m=12．
12分

18．解：设Y表示车主登记所需的时间，用频率估计概率，Y的分布如下：

Y

1

2

3

4

5



P

0.1

0.4

0.3

0.1

0.1



（1）A表示事件“第三个车主恰好等待4分钟开始登记”，则事件A对应三种情形：

（1）第一个车主登记所需时间为1分钟，且第二个车主登记所需的时间为3分钟；

（2）第一个车主登记所需的时间为3分钟，且第二个车主登记所需的时间为1分钟；

（3）第一个和第二个车主登记所需的时间均为2分钟。

所以

6分

（2）X所有可能的取值为：0,1,2.X=0对应第一个车主登记所需的时间超过2分钟，所

以
；X=1对应第一个车主登记所需的时间为1分钟且

第二个车主登记所需时间超过1分钟，或第一个车主登记所需的时间为2分钟，

所以

；X=2对应两个

车主登记所需的时间均为1分钟，所以
；

10分

所以X的分布列为

X

0

1

2



P

0.5

0.49

0.01




.
12分

19．

（1）证明　作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，

易知四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原

点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，

以垂直于DB，
的直线为z轴，建立空间直角坐

标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，
A(2,2,1)，

所以＝
，
＝

，

4分

因此·＝
，所以AD⊥BC.

6分

（2）解：设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥知：n1·＝

同理由n1⊥知：n1·＝
，

可取n1＝
，

同理，可求得平面ACD的一个法向量为

10分

∴cos〈n1，n2〉＝＝

即二面角B—AC—D的余弦值为


12分

20．解：

（1）
，设椭圆的方程为

依题意，直线
的方程为：

由

设

…………………………4分

当且仅当

此时
……………………6分

（2）设点
的坐标为
．

当
时，由
知，直线
的斜率为
，所以直线
的方程为
，或
，其中
，
．

点
的坐标满足方程组

得
，整理得
，

于是
，
．

．

由
知
．
，

将
代入上式，整理得
．…10分

当
时，直线
的方程为
，
的坐标满足方程组

所以
，
．

由
知
，即
，

解得
． ………………11分

这时，点
的坐标仍满足
．

综上，点
的轨迹方程为　
………………12分

21．解：

（1）因为函数
在
上为增函数，所以

在
上恒成立。

①当
时，
在
上恒成立，所以
在
上为增

函数，故
符合题意。

②当
时，由函数
的定义域可知，必须有
在
上恒成立，

故只能
，所以
在
上恒成立。 ..（4分）

令函数
，其对称轴为
，因为
，

所以
，要使
在
上恒成立，只要
即可，即
，所以
，因为
，所以

综上所述，
的取值范围为

（6分）

（2）当
，方程
可化为
。问题转

化为
在
上有解，即求函数

的值域。令函数
（10分）

则
，所以当
时，
，函数
在
上为增函数，当
时，
，函数
在
上为减函数，因此
。而
，所以
，因此当