平顶山许昌新乡2013届高三第三次调研考试

理科数学试题

选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设
为实数，若复数
，则

A.
B.
C.
D.

2.现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有

A.
B.
C.
D.

3.已知集合
，
，若对所有的
,均有
，则
的取值范围是

A.
B.
C.

D.

4.设向量
，
，
，
是向量
在向量
方向上的投影，则
的最大值是

A.
B.
C.
D. 3

5.图1是某县参加2013年高考的学生身高的统计图，从左到右的条形图表示学生人数一次记为
(
表示身高（单位：cm）在
的人数)。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图，先要统计身高在
（含160cm,不含180cm）的学生人数，那么在流程图的判断框内应填写的条件是

A.
B.
C.
D.

6.已知数列
满足
，
是其前n项和，则

A.
B.
C.
D.

7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.
B.
C.
D.

8.设
是双曲线
的两个焦点，点
在双曲线上，当
的面积为2时，
=

A. B.
C.
D.

9. 设实数
满足约束条件：
，若目标函数
的最大值为12，则
的最小值为

A.
B.
C. D.

10. 已知函数
，若方程
恰有四个实数根，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

11.椭圆
的左、右焦点分别是
,弦
过
，且
的内切圆的周长是
，若
的两点的坐标分别是
，则
的值为

A.
B.
C.
D
.

12.若平面直角坐标系中两点
满足条件：
分别在函数
的图像上；
关于
对称，则称点对
是一个“相望点对”（说明：
和
是同一个“相望点对”），函数
的图像中“相望点对”的个数是

A.
B.
C.
D.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.设
，则二项式
展开式中含
项的系数是____

14.在
中，边
所对的角分别是
已知
，若
，则
的面积是____

15．已知四面体
中，
,
平面
,则四面体
外接球的体积为____

16.有下列四个命题：

①函数
的值域是

②平面内的动点
到点
和到直线
的距离相等，则
的轨迹是抛物线；

③直线
与平面
相交于点
，且
与
内相交于点
的三条直线
所成的角相等,则

④若
则

其中正确的命题的编号是___

三．解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

已知函数
，数列
满足

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列

（Ⅱ）记
，求
。

18. （本小题满分12分）

设
和
分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量
表示方程
实根的个数（重根按一个计）

（Ⅰ）求方程
有实根的概率

（Ⅱ）求
的分布列和数学期望

19. （本小题满分12分）

如图，在底面是菱形的四棱锥
中，
，
，点
在
上，且

（Ⅰ）求二面角
的大小

（Ⅱ）在棱
上是否存在一点
，使
平面
?证明你的结论。

20. （本小题满分12分）

已知圆
的方程为
，过点
作圆
的两条切线，切点分别为
直线恰好经过椭圆
的右顶点和上顶点。

（Ⅰ）求椭圆
的方程

（Ⅱ）已知直线
与椭圆
相交于
两点，
为坐标原点，求
面积的最大值。

21. （本小题满分12分）

已知函数
（
，
为自然对数的底数）

（Ⅰ）若函数
有三个极值点，求的取值范围

（Ⅱ）若存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立，求正整数
的最大值

22. （本小题满分10分）

如图，已知：
是以
为直径的半圆
上一点,
于点
，直线
与过点
的圆
的切线相交于点
为
中点。连接
并延长交
于点
，直线
交直线
于点

（Ⅰ）求证：
是
的中点

（Ⅱ）求证：
是⊙
的切线

23. （本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系中，将曲线
为参数）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的
倍得到曲线
，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线
的方程为

（Ⅰ）求
和
的普通方程：

（Ⅱ）求
和
公共弦的垂直平分线的极坐标方程。

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）若函数
的定义域为
，求
的取值范围

2013年高三理科数学三模试卷参考答案

一、选择题：

1——5
6------10
11----12

二、填空题：

13.
14.
15.
16. ③④

三、解答题：

17. 解：(Ⅰ)

所以数列
是以1为首项，3为公差的等差数列



6分

(Ⅱ)

12分

18. (I)基本事件总数为
，

若使方程有实根，则
，即
.

当
时，
；当
时，
；当
时，
；

当
时，
；当
时，
；当
时，
,

记方程
有实根为事件
,

事件
所含基本事件个数为

因此，方程
有实根的概率为




6分

(II)由题意知，
，则
，

，

故
的分布列为

0

1

2



P










的数学期望



12分

19. （Ⅰ）解：因为底面
是菱形，
又

所以
，在
中，因为
，所以
故
，同理，
，所以
平面
，作
交
于
，则
⊥平面
.作
于
，连结
，则
，
即为二面角
的平面角.

又