江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
= ▲ ．

2．已知集合
，集合
，集合
，则
▲ ．

3．某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人．现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为 ▲ ．

4．某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是

5．以椭圆
的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ▲ ．

6．如图所示，设P、Q为△ABC内的两点，且
，
=

+

,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ▲ ．

7．执行如图所示的程序框图，若输出的
的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 ▲ ．

8．在
中，若
，则
的外接圆半径
，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体
中，若
两两垂直，
，则四面体
的外接球半径
▲ ．

9．若
是
与
的等比中项，则
的最大值为 ▲ ．

10．空间直角坐标系中，点
，则A、B两点间距离的最大值为 ▲ ．

11．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：

3

5

8

9

15

















 请将错误的一个改正为
▲ = ▲ ．

12．如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的 距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 ▲ ．

13．已知
为直线
上一动点，若在
上存在一点
使
成立，则点
的横坐标取值范围为 ▲ ．

14．若方程
没有实数根，那么实数
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15、（本小题满分15分）

已知函数

，
．其图象的两个相邻对称中心的距离为
，且过点
．

（Ⅰ）求
、
的值；

（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，
，
，角C为锐角。且满足
，求c的值．

16．（本小题满分15分）

如图，已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长

为1的正方形，M 、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．

（Ⅰ）求证：平面ABCD
平面ADE；

（Ⅱ）求证： MN//平面BCF；

（Ⅲ）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．

17．（本小题满分14分）

某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．

（Ⅰ）求该企业使用该设备
年的年平均污水处理费用
（万元）；

（Ⅱ）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

18．（本小题满分15分）

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；

（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

19．（本小题满分15分）

设常数
，函数

.

（Ⅰ）令

，求
的最小值，并比较
的最小值与零的大小；

（Ⅱ）求证：
在
上是增函数；

（Ⅲ）求证：当
时，恒有
．

20．（本小题满分16分）

定义：若数列
满足
，则称数列
为“平方递推数列”。已知数列
中，
，点
在函数
的图像上，其中
为正整数。

（Ⅰ）证明：数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列。

（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前
项之积为
，即
，求数列
的通项及
关于
的表达式。

（Ⅲ）记
，求数列
的前
项之和
，并求使
的
的最小值。

◎试卷使用说明

1、此试卷完全按照2013年江苏高考数学考试说明命题，无超纲内容。

2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩，上下浮动15分左右。

3、若此试卷达120分以上，高考基本可以保底120分；若达85分，只要在下一个阶段继续努力高考可以达96分。

4、此试卷不含理科加试内容。

5、希望各位老师、同学在使用后多提宝贵意见，共同切磋提高。

6、如需要更多内部资料请以下方式联系！

2013届高三数学综合检测卷

参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．

2．

3．21

4．



5．

6．

7．4

8．



9．

10．

11．

12．



13．

14．



二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
. （2分）

∵最高点与相邻对称中心的距离为
，则
，即
， （3分）

∴
，∵
，∴
， （4分）

又
过点
，

∴
，即
，∴
. （5分）

∵
，∴
，∴
. （6分）

16．（本小题满分15分）

解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形

∴
又
, ∴
平面
，---------------2分

又∵
，∴
平面

∵
平面ABCD，∴平面ABCD
平面ADE-------------------------4分

（2）证法一：过点M作
交BF于
，

过点N作
交BF于
，连结
,------------5分

∵
∴

又∵
∴
--------------------------------7分

∴四边形
为平行四边形，---------------------------------------------8分

----------10分

[法二：过点M作
交EF于G，连结NG，则

-----------------------------------------------------------6分

，------------7分

同理可证得
，又
, ∴平面MNG//平面BCF--------9分

∵MN
平面MNG,
．--------------------------------------------10分]

（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点

A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------11分

在△AEN中，∵

由余弦定理得
，------13分

∴
即
．-----------------------14分

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）

即
（
）；------------------------------------------------7分

（不注明定义域不扣分，或将定义域写成
也行）

由均值不等式得：

（Ⅱ）
（万元）-----------------------11分

当且仅当
，即
时取到等号．----------------------------------------13分

答：该企业10年后需要重新更换新设备．------------------------------------------14分

18．（本小题满分15分）

解：建立如图所示的直角坐标系，

⊙O的方程为
，

直线L的方程为
。

（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为
，

∴
，
。

将x=4代入，得
。

∴MN的中点坐标为（4，0），MN=
。

∴以MN为直径的圆的方程为
。

同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是
。

（Ⅱ）设点P的坐标为
，∴
（
），∴
。

∵
，

将x=4代入，得
，

。∴
，MN=
。

MN的中点坐标为
。

以MN为直径的圆
截x轴的线段长度为

为定值。

∴⊙
必过⊙O 内定点
。

19．（本小题满分15分）

解（Ⅰ）∵
，

∴
，
……2分

∴
，

∴
，令
，得
， ……4分

列表如下：



2









0







↘

极小值

↗



∴
在
处取得极小值
，

即
的最小值为
． ……6分

，

∵
，∴
，又
，∴
． ……8分

证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
的最小值是正数，

∴对一切
，恒有
， ……10分

从而当
时，恒有
， ……11分

故
在
上是增函数． ……12分

证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
在
上是增函数，

∴当
时，
， ……13分

又
， ……14分

∴
，即
，

∴

故当
时，恒有
． ……15分

20．（本小题满分16分）

（Ⅰ）由条件an＋1＝2an2＋2an， 得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn＋1＝2lgbn．∵lg(2a1＋1)＝lg5≠0，∴＝2．∴{lg(2an＋1)}为等比数列．

（Ⅱ）∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴lg(2an＋1)＝2n－1(lg5，∴2an＋1＝5，∴an＝(5－1)．

∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝＝(2n－1)lg5．

∴Tn＝5．

（