肇庆市中小学教学质量评估

2013届高中毕业班第二次模拟试题

数 学（文科）

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题

卡的密封线内.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

参考公式：锥体的体积公式
其中S为锥体的底面积，
为锥体的高

球的表面积公式
其中R为球的半径。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若
（
是虚数单位，
是实数），则
的值是

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

3.在
中，已知
，则向量

A．
B．
C．
D．

4. 下列函数为奇函数的是( )

A.
B.
C.
D.

5．已知实数
满足
则
的最大值是 ．

A.
B.
C.
D.

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果
的值是

A. 5 B.6 C. 7 D. 8

7．已知函数
，（
，
），的最小正周期为
，且
，则函数

A.
B.
C.
D. 2

8．设过点
且斜率为1的直线与圆
相切,则
的值为

A.
B.
C.
D.

9．对于平面
和直线
，下列命题中假命题的个数是

①若
，
，则
；②若
，
，则
；③若
，
，则
； ④若
，
，则

A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

10.各项互不相等的有限正项数列
，集合
，集合

,则集合
中的元素至多有（ ）个.

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题）

11．函数
的定义域是 ▲

12．在等差数列{
}中，
，则
▲ ．

13．从某项综合能力测试中抽取50人的成绩，统计如表，则这50人成绩的平均数等于 ▲ 、方差为 ▲ .

分数

5

4

3

2

1



人数

10

5

15

15

5





（ ） ▲

14.（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的
轴的非负半轴为极轴，曲线
的极坐标系方程为


，直线
的参数方程为
（
为参数），则
与
的交点A的直角坐标是 ▲

15．（几何证明选讲选做题）如图,在
中,斜边
,直角边
,如果以C为圆心的圆与AB相切于
,则
的半径长为____ ▲ ___.

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在
中，内角
所对边长分别为
，
.(1)求
的值；

（2）求
的值；(3)若
，求
的面积.

17. （本题满分12分）

设
为等差数列,
为数列
的前
项和,已知
. (1)求数列
的通项公式
；（2）设
，
为数列
的前
项和,求
.

18. （本题满分14分）

某中学高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图(图3)和频率分布直方图(图4)都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题。

（1）求全班人数及分数在
之间的频数；

（2）计算频率分布直方图中
的矩形的高；

（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率。

19.（本小题满分14分）

已知四棱锥
(图5) 的三视图如图6所示，
为正三角形，
垂直底面
，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥
的体积；（3）求证：
平面
；

20．（本小题满分14分）

设
分别是椭圆C：
的左右焦点.

(1)设椭圆C上的点
到
两点距离之和等于
，写出椭圆C的方程;

(2)设过（1）中所得椭圆上的焦点
且斜率为1的直线与其相交于
，求
的面积;

(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线
与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为
试探究
的值是否与点P及直线
有关，并证明你的结论。

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）设函数
．若至少存在一个
，使得
成立，求实数
的取值范围．

肇庆市中小学教学质量评估

2013届高中毕业班第二次模拟试题

数 学（文科）参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

B

D

C

C

A

C

D

A





解析：

1D解析：

2A解析：

3B解析：

4D解析:
与
是偶函数,，
是非奇非偶函数，故选D.

5C解析：画图可知，四个角点分别是
，可知

6C解： 程序执行的过程如下：

，符合
，
；符合
，
；

符合
，
；符合
，
；

符合
，
；符合
，
；

符合
，
；不符合
，故输出
.

7A解析：

8C解析：设直线方程为
，圆心
到直线
的距离等于半径1，∴
，∴
的值为
，选C．

9D解析：四个命题全错

10A解析：利用特殊值法进行求解.设集合
，则由
知C不正确；设集合
，则由
知B，D不正确；故选A

二、填空题：

11．
（或
） 12.
13. 3 (2分)，
(3分)

14.
15.

11解析：由

12解析1：由

解析2：
，
．

解析2：由等差数列的性质可知
成等差数列，所以

13解析：

14解析：

，由

15．解析:在Rt△ABC中,∵AB=12,AC=6,即AC=
AB,∴∠B=30°,∠A=90°-∠B=60°.

∴CD=AC·sinA=6×
.

三、解答题

16解：(1)在
中，∵
,∴
（1分）

∵
,∴
（3分）

(2) 在
中，∵
，∴
（5分）

∴

（8分）

(3) ∵
，即
， （9分）

∴
，即
（10分）

∴
的面积
（12分）

17解: ( 1) 设等差数列
的公差为
,则
, （1分）

∵
, ∴
（3分）

∴
. （6分）

∴
（7分）

（2）由（1）得
（8分）

∴
（9分）

（11分）

（12分）

18解：（1）由茎叶图可知，分数在
之间的频数为2,频率为
，所以全班人数为
（人） （2分）

故分数在
之间的频数为
. （3分）

(2) 分数在
之间的频数为4, 频率为
（5分）

所以频率分布直方图中
的矩形的高为
（7分）

（3）用
表示
之间的4个分数，用
表示
之间的2个分数，则满足条件的所有基本事件为：
，