四川省成都龙泉驿区2013届高三 5月数学学科押题试卷（理）

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A＝{x|x＝a＋(
－1)i(a∈R，i是虚数单位)}，若A?R，则a＝

A．1 B．－1 C．±1 D．0

2．为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图．根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是

A．40　　　　　　　　 B．400

C．4000 D．4400

3. 对于空间中的三条不同的直线，有下列三个条件：

①三条直线两两平行；②三条直线共点；③有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．

其中，能作为这三条直线共面的充分条件的有

A．0个　　　　　　　　B．1个 C．2个 D．3个

4.设
是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则
＋
＝

A．3　　　　　　　　B．2

C．1 D．0

5．若如下框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是

A．k＝9 B．k≤8

C．k＜8 D．k＞8

6．各项均为正数的等比数列{
}的前n项和为
，若
＝2，
＝14，则
等于

A．80 B．30 C．26 D．16

7．二项式
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是

A．180 B．90 C．45 D．360

8．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
＝
，
＝
，则
的值为

A．3 B.
C．2 D.

9．已知抛物线C的方程为
＝
，过点A(0，－1)和点B(
，3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是]

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－)∪(，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞)

10. 若矩阵
满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为

A.48 B.72 C.168 D.312

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.

11.已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________．

12．已知D是由不等式组
所确定的平面区域，则圆
＋
＝4在区域D内的弧长为________．

13.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积为________cm2.

14.直线ax＋by＋c＝0与圆
＋
＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则
·
(O为坐标原点)等于________．

15.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
＋
＝
，则
＋
的值是________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16. (本小题满分12分）已知a＝2(
，
)，b＝(
，
)(其中0＜
＜1)，函数
＝a·b，若直线
＝
是函数
图象的一条对称轴．

(Ⅰ)试求
的值；

(Ⅱ)若函数y＝
的图象是由y＝
的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到，求y＝
的单调递增区间．

17. (本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.

第一排

明文字符

A

B

C

D





密码字符

11

12

13

14





第二排

明文字符

E

F

G

H





密码字符

21

22

23

24





第三排

明文字符

M

N

P

Q





密码字符

1

2

3

4



设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数．

(Ⅰ)求P(ξ＝2)； (Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望．

18. (本小题满分12分）等差数列{
}的各项均为正数，
＝3，前
项和为
，等比数列{
}中，
＝1，
＝64，{
}是公比为64的等比数列．

(Ⅰ)求
与
；] (Ⅱ)证明：＋＋＋…＋<.

19. (本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.

(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PAD；

(Ⅱ)设AB＝AP．

(ⅰ) 若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；

(ⅱ) 在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．

20. (本小题满分13分）给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，且其短轴上的一个端点到F的距离为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

(Ⅱ)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．

21. (本小题满分14分）

已知函数
，
为自然对数的底数）.

(Ⅰ)当
时,求
的单调区间；

(Ⅱ)若函数
在
上无零点,求
最小值；

(Ⅲ)若对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
),使
成立,求
的取值范围.

参考答案

1.【答案】C 【解析】因为A?R，所以A中的元素为实数．所以
－1＝0.即a＝±1.故应选C.

2.【答案】C 【解析】依题意得，该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是10000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4000. 故应选C.

3.【答案】B 【解析】①中，三条直线两两平行有两种情况：一是一条直线平行于其他两条平行直线构成的平面；二是三条直线共面．②中，三条直线共点最多可确定3个平面，所以当三条直线共点时，三条直线的位置关系有两种情况：一是一条直线与其他两条直线构成的平面相交；二是三条直线共面．③中条件一定能推出三条直线共面．故只有③是空间中三条不同的直线共面的充分条件．故应选B.

4.【答案】A 【解析】由于
是定义在R上的周期为3的周期函数，所以
＋
＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以
＋
＝1＋2＝3. 故应选A.

5.【答案】D 【解析】据算法框图可得当k＝9时，S＝11；k＝8时，S＝11＋9＝20.所以应填入k>8. 故应选D.

6.【答案】B 【解析】设
＝a，
＝b，由等比数列的性质知：2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)，同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝
＝30. 故应选B.

7.【答案】A 【解析】因为
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n＝10，
＝
·
·
＝


，令5－
＝0，则r＝2，
＝
＝180. 故应选A.

8.【答案】B 【解析】(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得
＝
.故应选B.

【点评】 本题采用特殊点法，因为过点G的直线有无数条，其中包含平行于底边BC的直线，所以
的值不随M、N的位置变化而变化.

9.【答案】D 【解析】据已知可得直线AB的方程为
＝
－1，联立直线与抛物线方程，得
，消元整理，得
－
＋1＝0，由于直线与抛物线无公共点，即方程
－
＋1＝0无解，故有
－8<0，解得
>
或
<－
.故应选D.

10. 【答案】C 【解析】若恰有两列的上下两数相同，取这两列有
种，从1，2，3，4中取2个数排这两列，有
种，排另外两列有
种，所以共有
=144种；若恰有三列的上下两数相同，也是恰有四列上下两数相同，有
=24种(只要排其中一行即可). 故一共有144+24=168种. 故应选C.

11.【答案】(－4，－8)【解析】由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1，2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．

12.【答案】
【解析】作出可行域D及圆
＋
＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角
＝
＋
所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别是
，－
得
＝
，
＝
，
＝
＝
＝1得
＝
得弧长
＝
·
＝
×2＝
(
为圆半径)．

13.【答案】2【解析】由俯视图可得，该正四面体AMNC可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，该正方体的棱长为2，正四面体的主视图为三角形，则其面积为
×2×
＝
(cm2)．

14.【答案】－7【解析】记
、
的夹角为
.依题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，
＝
，
＝
－1＝2×
－1＝－
，
·
＝3×
＝－7.

15.【答案】4【解析】方法一　取a＝b＝1，则
＝
，由余弦定理得c2＝a2＋b2－
＝
，所以c＝
，在如图所示的等腰三角形ABC中，可得
＝
＝
，又
＝
，
＝
，所以
＋
＝4.

方法二　由
＋
＝6cos C，得＝6·，即a2＋b2＝c2，所以
＋
＝tan C＝＝＝4.

16. 解　(Ⅰ)
＝a·b＝2(
，
)·(
，
)

＝
＋

＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx＝1＋2sin. ……………………………2分

因为直线x＝为对称轴，所以sin＝±1，

所以＋＝kπ＋(k∈Z)．所以ω＝k＋(k∈Z)．…………………………4分

因为0＜ω＜1，所以－
＜k＜
，

所以k＝0，所以ω＝
.……………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，得
＝1＋2sin，

所以
＝1＋2sin＝1＋2sin＝1＋2cos x. ………………8分

由2kπ－π≤x≤2kπ(k∈Z)，得4kπ－2π≤x≤4kπ(k∈Z)，………………………10分

所以
的单调递增区间为[4kπ－2π，4kπ](k∈Z)．………………………………12分

17. 解：(Ⅰ)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码．

所以P(ξ＝2)＝
＝
.……………………………………………4分

(Ⅱ)由题意可知