肇庆市中小学教学质量评估

2013届高中毕业班第二次模拟试题

数 学（理科）

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题

卡的密封线内.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

参考公式：锥体的体积公式
其中S为锥体的底面积，
为锥体的高

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若
（
是虚数单位，
是实数），则
在复平面内对应的点是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合
，则

A．
B．

C．
D．
或

3.在
中，已知
，则向量

A．
B．
C．
D．

4. 下列函数为奇函数的是( )

A.
B.
C.
D.

5.已知变量
满足约束条件
，则
的最优解是

A. 5 B.
C.
或
D.
或

6．已知集合
，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )

A.33 B.34 C.35 D.36

7．已知函数
（
，
）的最小正周期为
，且
，则函数
在
上的最小值是

A.
B.
C.
D.

8．定义全集U的子集
的特征函数为
，这里
表示集合
在全集U中的补集，已
，给出以下结论：①若
，则对于任意
，都有
；②对于任意
都有
；③对于任意
，都有
；④对于任意
，都有
.

则结论正确的是

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．
的解集是

10．
.

11．某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的结果
的值是

12.图2是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积等于（几何体的接触面积可忽略不计）

13．与圆
关于直线
：
对称的圆的方程是

（ ） ▲

14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
的极坐标系方程为

，直线
的参数方程为
（
为参数），若以直角坐标系的
轴的非负半轴为极轴，则
与
的交点A的直角坐标是 ▲

15．（几何证明选讲选做题）如图3,在
中,斜边
,直角边
,如果以C为圆心的圆与AB相切于
,则
的半径长为 ▲

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在
中，内角
所对边的边长分别是
.

(1)若
,
且
的面积等于
，求
和
的值；

（2）若
是钝角，且
，求
的值.

17.（本小题满分13分）

PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响。我国PM2. 5标准如表1所示.我市环保局从市区四个监测点2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图4所示。

（1）求这15天数据的平均值(结果保留整数).

(2)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数
，求
的分布列和数学期望；

(3) 以这15天的PM2. 5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.

18. （本题满分13分）

如图
，在直角梯形
中，已知
，
，
，
.将
沿对角线
折起（图
），记折起后点
的位置为
且使平面
平面
.

(1)求三棱锥
的体积；

(2)求平面
与平面
所成二面角的平面角的大小.

19.（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，对一切正整数
，点
都在函数
的图像上，且过点
的切线的斜率为
．

（1）求数列
的通项公式． （2）若
，求数列
的前
项和
．

（3）设
，等差数列
的任一项
，其中
是
中的最小数，
，求
的通项公式.

20. （本小题满分14分）

设椭圆
的离心率为
，其左焦点
与抛物线
的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程；(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点
的直线
与曲线
只有一个交点
，则

求直线
的方程；（2）椭圆上是否存在点
，使得
，若存在，请说明一共有几个点；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数
在
处存在极值.

（1）求实数
的值；

（2）函数
的图像上存在两点
使得
是以坐标原点
为直角顶点的直角三角形，且斜边
的中点在
轴上，求实数
的取值范围；

（3）当
时，讨论关于
的方程

的实根的个数.

肇庆市中小学教学质量评估

2012届高中毕业班第二次模拟试题

数 学（理科）参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

B

D

C

A

C

A





解析：

1D解析：

2A解析：

3B解析：

4D解析:
是偶函数,，
和
是非奇非偶函数，故选D.

5C解析：约束条件对应的三个“角点”坐标分别为：
，
，所以
的最优解为
或

6A解析:若从三个集合中选出的是不同的三个数，则可以组成5
=30个不同的点，若A、C选取的元素相同都是1，则可以确定3个不同的点，故共有33个不同的点.

7C解析：

由
得

8A解析：利用特殊值法进行求解.设

对于①有
可知①正确；

对于②有
，
可知②正确；

对于③有
，
，

可知③正确；

二、填空题：

9．
. 10.
11. 7 12.

13.
(或填：
) 14.
15.

9解析：∵
，∴
，∴
，∴
或
.

10解析:
.

11解： 程序执行的过程如下：

，符合
，
；符合
，
；

符合
，
；符合
，
；

符合
，
；符合
，
；

符合
，
；不符合
，故输出
.

12解析：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为

13解：圆C的标准方程为
圆心坐标是
.设与圆心
关于直线
对称的点的坐标是
，则有
解此方程组，得
所以，与圆C关于直线
：
对称的圆的方程是
.

14解析：

，由

15解析:在Rt△ABC中,∵AB=12,AC=6,即AC=
AB,∴∠B=30°,∠A=90°-∠B=60°.

∴CD=AC·sinA=6×
.

三、解答题

16解：(1)∵
,
, ∴

∴
(2分)

由余弦定理及已知条件得，
， (4分)

又因为
的面积等于
，所以
，得
． (5分)

联立方程组

解得
，
． (7分)

（2） ∵
是钝角，且

∴
(8分)

(9分)

∴
(10分)

(12分)

17解：（1）随机抽取15天的数据的平均数为：

(3分)

（2）依据条件，
的可能值为
，

当
时，
， (4分)

当
时，
(5分)

当