四川省成都龙泉驿区2013届高三数学学科押题试卷

I卷（文）

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A＝{x|x＝a＋(
－1)i(a∈R，i是虚数单位)}，若A?R，则a＝

A．1 B．－1 C．±1 D．0

2. 设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝

A．[1，2) B．[1，2] C．(2，3] D．[2，3]

3．下列说法错误的是

A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”

B．“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件

C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题

D．命题p：“?x0∈R，使得x＋x0＋1<0”，则
：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”

4．已知数列{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝

A．－2　　　　　　　　　　 B．－

C.
D．2

5．若如下框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是

A．k＝9 B．k≤8

C．k＜8 D．k＞8

6．函数y＝
在区间[－
，
]上的简图是

7.若函数y＝
是函数y＝
(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则

A．
　　　　　　　　　　 B．

C.
D．

8．如果实数x，y满足
，目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为

A．2 B．－2

C.
D．不存在

9．在直线y＝2x＋1上有一点P，过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线与圆x2＋y2－2x＝0有公共点，则点P的横坐标取值范围是

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1)

C．[－
，－
] D．(－
，－
)

10. 把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为
，第二次出现的点数记为
，方程组
只有一组解的概率是

A．
B．

C.
D．

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.

11．设向量a＝(4sin α，3)，b＝(2，3cos α)，且a∥b，则锐角α为________．

12．已知函数
＝|x－a|(a为常数)．若
在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

13.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积为________cm2.

14. 如图：点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：

①三棱锥A－D1PC的体积不变；

②A1P∥面ACD1；

③DP⊥BC1；

④面PDB1⊥面ACD1.

其中正确的命题的序号是________．

15. 在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1，3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16. (本小题满分12分）

在数列{an}中，a1＝，点(an，an＋1)在直线y＝x＋上．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

17. (本小题满分12分）

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

(Ⅰ)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为
，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为
，求


＋2的概率．

18. (本小题满分12分）

在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

(Ⅰ)若2sin Acos C＝sin B，求的值；

(Ⅱ)若sin(2A＋B)＝3sin B，求的值．

19. (本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.

(Ⅰ)证明：平面ADB⊥平面BDC；

(Ⅱ)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．

20. (本小题满分13分）

已知函数
＝x2＋(a∈R)．

(Ⅰ)若
在x＝1处的切线垂直于直线x－14y＋13＝0，求该点的切线方程，并求此时函数
的单调区间；

(Ⅱ)若
≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立，求实数a的取值范围．

21. (本小题满分14分）

给定椭圆
：
＋
＝1(



0)，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”．若椭圆
的一个焦点为
(
，0)，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程和其“准圆”方程；

(Ⅱ)点
是椭圆
的“准圆”上的一个动点，过动点
作直线
，
，使得
，
与椭圆
都只有一个交点，试判断
，
是否垂直，并说明理由．

参考答案

1.【答案】C 【解析】因为A?R，所以A中的元素为实数．所以
－1＝0.即a＝±1.故应选C.

2. 【答案】A【解析】因为M＝{x|x2＋x－6＜0}＝{x|－3＜x＜2}，由图知：M∩N＝{x|1≤x＜2}．故应选A.

3.【答案】C 【解析】若“p且q”为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，而不是p、q均为假命题．故C错．故应选C.

4. 【答案】B【解析】根据题意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，所以a1＝1，又因为a3＝a1＋2d＝0，所以d＝－
.故应选B.

5.【答案】D 【解析】据算法框图可得当k＝9时，S＝11；k＝8时，S＝11＋9＝20.所以应填入k>8. 故应选D.

6.【答案】A 【解析】令x＝0得y＝
＝－
，排除B，D.由
＝0，
＝0，排除C，故应选A.

7. 【答案】B 【解析】函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是
＝
，由a＝
＝
得
＝
.故应选B.

8.【答案】A 【解析】如图为
所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得A(1，
)，B(1，1)，C(5，2)，由于3x＋5y－25＝0在y轴上的截距为5，故目标函数z＝kx＋y的斜率－k<－
，即k>
. 将k＝2代入，过B的截距z＝2×1＋1＝3. 过C的截距z＝2×5＋2＝12.符合题意．故k＝2. 故应选A.

9.【答案】C 【解析】过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线的斜率是k＝
，设点P(
，
＋1)，其方程是y－
－1＝
(x－
)，由圆心(1，0)到直线的距离小于或等于1可解得．故应选C.

10.【答案】D 【解析】方程组只有一组解(
，即除了m=2且n=3或m=4且n=6这两种情况之外都可以，故所求概率p=
．故应选D.

12.【答案】
【解析】因为a∥b，所以4sin α·3cos α＝2×3，所以sin 2α＝1，因为α为锐角．所以α＝
.

12.【答案】(－∞，1]【解析】因为
在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a≤1.

13.【答案】2【解析】由俯视图可得，该正四面体AMNC可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，该正方体的棱长为2，正四面体的主视图为三角形，则其面积为×2×2＝2(cm2)．

14.【答案】①②④【解析】因为
＝
·
，由于AD1∥BC1，所以
为定值，又h为点C到面AD1C1B的距离，也是定值，所以三棱锥A－D1PC为定值，①正确；因为平面A1BC1∥平面AD1C，所以A1P∥平面AD1C，②正确；③错误，如当点P与点B重合时，DB与BC就不垂直；因为DB1⊥平面AD1C，所以平面PDB1⊥平面AD1C成立，④正确．

15.【答案】(1，2)【解析】由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求点的坐标是(1，2)．

16. 解：(Ⅰ)由已知得an＋1＝an＋，即an＋1－an＝.

所以数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，…………………………4分

即an＝＋(n－1)＝.……………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得bn＝＝，即bn＝4[－]，………………10分

所以Tn＝4＝4[1－]＝.……………………12分

17. 命题阐释 本题两问中，一个是无放回取球，一个是有放回取球，试题通过这两个问题，考查列举基本事件个数、找出所求的随机事件所含有的基本事件个数的数据处理能力以及运算求解能力．

思考流程 (Ⅰ)(条件)四个球中不放回取出两个球 ? (目标)取出的球的编号之和不大于4的概率 ? (方法)列举基本事件的个数，从中找出随机事件“球的编号之和不大于4”所包含的基本事件的个数，根据古典概型的公式进行计算；

(Ⅱ)(条件)有放回地从四个球中取出两个球 ? (目标)求解一个古典概型 ? (方法)仍然是列举基本事件的个数，再从中找出随机事件“


＋2”所含有的基本事件的个数，根据古典概型的公式进行计算．

解：(Ⅰ)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6个．………………………………3分

从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有(1，2)，(1，3)，有两个．因此所求事件的概率为
＝
. ………………………………6分

(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，记下编号为
，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为
，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个． ………………………………………………………………………9分

满足条件
≥
＋2的事件为(1，3)，(1，4)，(2，4)共3个，所以满足条件
≥
＋2的事件的概率P＝
，

故满足条件n

18. 解：(Ⅰ)由正弦定理得＝. ………………………………2分

从而2sin Acos C＝sin B可化为2acos C＝b. ………………………………3分

由余弦定理得2a×＝b.

整理得a＝c，即＝1. …………………………………………………………6分

(Ⅱ)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π，

所以sin(2A＋B)＝3sin B可化为sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]，

即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)．…………………………………………………………8分

故－sin Acos C＋cos Asin C＝3(sin Acos C＋cos Asin C)．

整理得4sin Acos C＝－2cos Asin C，………………………………………………10分

因为△ABC是斜三角形，所以cos Acos C≠0，

所以＝－.………………………………12分

19.解：(Ⅰ)因为折起前AD是BC边上的高．

所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，…………………………3分

又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，因为AD?平面ABD，

所以平面ABD⊥平面BDC. ……………………………………………………6分

(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，

因为DB＝DA＝DC＝1，

所以AB＝BC＝CA＝，……………………………………………………9分

从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝
×1×1＝
，

S△ABC＝
×
×
×
＝
，

所以三棱锥D－ABC的表面积S＝
×3＋
＝
.…………………………12分

20. 解：(Ⅰ)
＝2x－，根据题意f′(1)＝2－2a＝－14，解得a＝8，

此时切点坐标是(1,17)，故所求的切线方程是y－17＝－14(x－1)，即14x＋y－31＝0.

当a＝8时，
＝2x－＝，

令
>0，解得x>2，令
<0，解得x<2且x≠0，故函数
的单调递增区间是(2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，0)和(0，2)．…………………………………5分

(Ⅱ)
＝2x－＝.

①若a<1，则
>0在区间[1,2]上恒成立，f(x)在区间[1,2]上单调递增，函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(2)＝4＋a；………………………………………………………7分

②若1≤a≤8，则在区间(1，)上
<0，函数单调递减，在区间(，2)上
>0，函数单调递增，故函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(1)，f(2)中的较大者，f(1)－f(2)＝1＋2a－4－a＝a－3，故当1≤a≤3时，函数的最大值为f(2)＝4＋a，当3

③当a>8时，
<0在区间[1,2]上恒成立，函数
在区间[1,2]上单调递减，函数的最大值为f(1)＝1＋2a. ………………………………………………………11分

综上可知，在区间[1,2]上，当a≤3时，函数f(x)max＝4＋a，当a>3时，函数f(x)max＝1＋2a.

不等式
≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立等价于在区间[1,2]上，f(x)max≤a2－2a＋4，故当a≤3时，4＋a≤a2－2a＋4，即a2－3a≥0，解得a≤0或a＝3；当a>3时，1＋2a≤a2－2a＋4，即a2－4a＋3≥0，解得a>3. …………………………………………12分

综合知当a≤0或a≥3时，不等式
≤a2－2a＋4对任意的x∈[1，2]恒成立．

………………………………………………………13分

21.解：(Ⅰ)由题意可知
＝
，
＋
＝
，则