2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

数　　学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

不等式组
表示的平面区域是

A B C D

已知复数

，且
为实数，则

A.
B.
C.
D.

已知
，则
的值为

A.
B.

C.
D.

执行如图所示的程序框图，若输出的
，则输入的整数
的最大值为A. 7 B. 15

C. 31 D. 63

已知
是平面向量，下列命题中真命题的个数是

①
②

③
④

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

已知函数
的图像关于直线
对称，则实数
的值为

A.
B.
C.
D.

一个棱长都为
的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为

A.
B.
C.
D.

已知数列
满足
，
，则

A. 143 B. 156 C. 168 D. 195

在
中产生
区间上均匀随机数的函数为“
( )”,在用计算机模拟估计函数
的图像、直线
和
轴在区间
上部分围成的图形面积时，随机点
与该区域内的点
的坐标变换公式为

A.
B.

C.
D.

已知抛物线
的焦点为
，直线
与此抛物线相交于
两点，则

A.
B.

C.
D.

如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

已知两条直线
和
(其中
)，
与函数
的图像从左至右相交于点
，
，
与函数
的图像从左至右相交于点
，
.记线段
和
在
轴上的投影长度分别为
.当
变化时，
的最小值为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

____________.

用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.

双曲线
的左、右焦点分别为
和
，左、右顶点分别为
和
，过焦点
与
轴垂直的直线和双曲线的一个交点为
，若
是
和
的等比中项，则该双曲线的离心率为 .

设集合
，
，
，若
，则实数
的取值范围是____________.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

（本小题满分12分）

在三角形
中，
.

⑴ 求角
的大小；

⑵ 若
，且
，求
的面积.

（本小题满分12分）

2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在
，第二类在
，第三类在
（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.

⑴ 求该小区居民用电量的中位数与平均数；

⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；

⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设
为获奖户数，求
的数学期望
与方差
.

（本小题满分12分）

如图，
是矩形
中
边上的点，
为
边的中点，
，现将
沿
边折至
位置，且平面
平面
.

⑴ 求证：平面
平面
；

⑵ 求二面角
的大小.

（本小题满分12分）

如图，曲线
与曲线
相交于
、
、
、
四个点.

⑴ 求
的取值范围；

⑵ 求四边形
的面积的最大值及此时对角线
与
的交点坐标.

（本小题满分12分）

已知函数
.

⑴ 求函数
的单调区间；

⑵ 如果对于任意的
，
总成立，求实数
的取值范围；

⑶ 设函数
，
. 过点
作函数
图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列
，求数列
的所有项之和
的值.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图，
是
的直径，弦
与
垂直，并与
相交于点
，点
为弦
上异于点
的任意一点，连结
、
并延长交
于点
、
.

⑴ 求证：
、
、
、
四点共圆；

⑵ 求证：
.

（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，

以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

⑴ 求曲线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

⑵ 当
时，曲线
和
相交于
、
两点，求以线段
为直径的圆的直角坐标方程.

（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.

设函数
，

．

⑴ 求不等式
的解集；

⑵ 如果关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．

2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2013年长春市高中毕业班第三次调研测试

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)

1.B 2 .C 3. A 4. B 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.A 11.B 12.C

简答与提示：

【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的区域，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.

【试题解析】B
表示直线
以及该直线下方的区域，
表示直线
的上方区域，故选B.

【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是共轭复数的乘法运算以及对共轭复数的基本性质的考查，对考生的运算求解能力有一定要求.

【试题解析】C 由
为实数，且
，所以可知
，
，则
，故选C.

【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式以及倍角的余弦公式的应用，对学生的化归与转化思想以及运算求解能力提出一定要求.

【试题解析】A 由
，得
，故选A.

【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.

【试题解析】B 由程序框图可知：

①
，
；②
，
；③
，
；④
，
；

⑤
，
. 第⑤步后
输出，此时
，则
的最大值为15，故选B.

【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质，特别是对平面向量运算律的全面考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.

【试题解析】A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确，

故选A.

【命题意图】本题着重考查三角函数基础知识的应用，对于三角函数的对称性也作出较高要求. 本小题同时也考查考生的运算求解能力与考生的数形结合思想.

【试题解析】B 由函数
的图像关于直线
对称，

可知
，可求得
. 故选B.

【命题意图】本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体中基本量的关系，以及球表面积公式的应用，本考点是近年来高考中的热点问题，同时此类问题对学生的运算求解能力、空间想象能力也提出较高要求.

【试题解析】A　如图：设
、
为棱柱两底面的中心，球心
为
的中点. 又直三棱柱的棱长为
，可知
，
，所以
，

因此该直三棱柱外接球的表面积为
，故选A.

【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题，以及等差数列的通项公式，也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.

【试题解析】C 由
，可知
，即
，

故数列
是公差为1的等差数列，

所以
，则
. 故选C.

【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用，对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求. 本题着重考查考生数据处理的能力，与归一化的数学思想.

【试题解析】D. 由于
，
，而
，
，

所以坐标变换公式为
，
. 故选D.

【命题意图】本小题是定值问题，考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.

【试题解析】A 设
，
，由题意可知，
，
，则
，

联立直线与抛物线方程消去
得，
，可知
，

故
. 故选A.

【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.

【试题解析】B 由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此
. 故选B.

【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质，对于函数图像的翻折变换以及基本不等式的应用都有考查，本题是函数与不等式的综合题，考查较为全面，难度系数较高，是一道区分度较好、综合性较强的题目. 同时对考生的推理论证能力与运算求解能力都有较高要求.

【试题解析】C 设
，则
，
，
，
，则
，分子与分母同乘以

可得
，

又
，当且仅当
，即
时，“=”成立，所以
的最小值为
. 故选C.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)

13.
14. 8 15.
16.

简答与提示：

【命题意图】本小题主要考查积分的定义与牛顿莱布尼茨公式在解决定积分问题上的应用. 主要考查学生的运算求解能力，难度较低，解决方法常规.

【试题解析】
.

【命题意图】本小题主要考查学生对排列组合问题基本方法的掌握与应用，同时对考生解决此类问题的策略作出考查.同时也对考生的应用意识与创新意识有一定要求.

【试题解析】
种.

【命题意图】本小题主要考查双曲线中各基本量间的关系，特别是考查通径长度的应用以及相关的计算，同时也对等比中项问题作出了一定要求.本题主要考查学生的运算求解能力、推理论证能力，以及数形结合思想.

【试题解析】由题意可知
，即
，

经化简可得
，则
.

【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题，对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要求.

【试题解析】由题可知，集合
表示圆
上点的集合，集合
表示圆
上点的集合，集合
表示曲线
上点的集合，此三集合所表示的曲线的中心都在
处，集合
、
表示圆，集合
则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得
的取值范围是
.

三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本题针对三角变换公式以及解三角形进行考查，主要涉及三角恒等变换，正、余弦定理等内容，对学生的逻辑思维能力提出较高要求.

【试题解析】解：(1) 由题
，

则
，化简得
， (2分)

即
，
，所以
， (4分)

从而
，故
. (6分)

(2) 由
，可得
.

所以
或
. (7分)

当
时，
,则
,
; (8分)

当
时，由正弦定理得
.

所以由
，可知
. (10分)

所以
. (11分)

综上可知
(12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括中位数与平均数的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的二项分布的数学期望与方差的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.

【试题解析】解：(1) 因为在频率分布直方图上，中位数的两边面积相等，可得中位数为155. (2分)

平均数为

. (4分)

(2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为
. (8分)

(3) 由题可知，该小区内第一类用电户占80%，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数
的数学期望
，方差
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面、面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.

【试题解析】解：(1) 证明：由题可知，
(3分)

(6分)

(2) 以
为原点，以
方向为
轴，以
方向为
轴，以过
点平面
向上的法线方向为
轴，建立坐标系. (7分)

则
，
，
，
，

，
，
，

，
， (9分)

， (11分)

综上二面角
大小为
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中极值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

【试题解析】解：(1) 联立曲线
消去
可得
，

，根据条件可得
，解得
.

(4分)

(2) 设
，
，
，
，

则

.

(6分)

令
，则
，
， (7分)

设
，

则令
，

可得当
时，
的最大值为
，从而
的最大值为16.

此时
，即
，则
. (9分)

联立曲线
的方程消去
并整理得

，解得
，
，

所以
点坐标为
，
点坐标为
，

，

则直线
的方程为
， (11分)

当
时，
，由对称性可知
与
的交点在
轴上，

即对角线
与
交点坐标为
. (12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.

【试题解析】解 (1) 由于
，所以

. (2分)

当
，即
时，
；

当
，即
时，
.

所以
的单调递增区间为

，

单调递减区间为

. (4分)

(2) 令
，要使
总成立，只需
时
.

对
求导得
，

令
，则
，(
)

所以
在
上为增函数，所以
. (6分)

对
分类讨论：

① 当
时，
恒成立，所以
在
上为增函数，所以
，即
恒成立；

② 当
时，
在上有实根
，因为
在
上为增函数，

所以当
时，
，所以
，不符合题意；

③ 当
时，
恒成立，所以
在
上为减函数，则
，不符合题意.

综合①②③可得，所求的实数
的取值范围是
. (9分)

(3) 因为
，所以
，

设切点坐标为
，则斜率为
，

切线方程为
， (10分)

将
的坐标代入切线方程，得

，即
，

令
，
，则这两个函数的图像均关于点
对称，

它们交点的横坐标也关于
对称成对出现，方程
，

的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列
的项也关于
对称成对出现，在
内共构成1006对，每对的和为
，因此数列
的所有项的和
. (12分)

(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.

【试题解析】解 (1)连结
，则
，又
，

则
，即
，

则
、
、
、
四点共圆. (5分)

(2)由直角三角形的射影原理可知
，

由
与
相似可知：
，

，
，

则
，即
. (10分)

(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.

【试题解析】解：(1)对于曲线
消去参数
得：

当
时，
；当
时，
. (3分)

对于曲线
：
，
，则
. (5分)

(2) 当
时，曲线
的方程为
，联立
的方程消去
得

，即
，

，

圆心为
，即
，从而所求圆方程为
.

(10分)

(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.

【试题解析】解：(1)

(2分)

当
时，
，
，则
；

当
时，
，
，则
；

当
时，
，
，则
.

综上可得，不等式的解集为
. (5分)

(2) 设
，由函数
的图像与
的图像可知：

在
时取最小值为6，
在
时取最大值为
，

若
恒成立，则
. (10分)